含微裂紋懸臂梁摩擦阻尼分析研究

莫佳亮

【摘 要】本文的研究對象是含微裂紋均質懸臂梁結構摩擦阻尼，本文通過理論和仿真分析兩方面，先后建立一種含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型和含有規則裂紋的懸臂梁模型，得到的結果對于研究含微裂紋的低粘性材料結構具有一定的參考依據。

【關鍵詞】阻尼；摩擦耗能；細觀力學；微裂紋

結構的噪聲、振動等動態響應會直接受阻尼等動態特性的影響，因此在結構及系統設計和分析中應充分考慮其特性。結構中的阻尼既可來源于外部的阻力，也可來源于結構內部的耗散。根據結構的材料特性及工作環境，阻尼機理一般可以分為以下幾種：（1）材料自身的粘彈特性；（2）界面相的阻尼（主要針對復合材料）；（3）損傷引起的阻尼；（4）粘塑性阻尼；（5）熱彈性阻尼。在上述幾種阻尼機理中，絕大多數的阻尼研究都集中于第一種。

損傷對阻尼的影響，主要可以分為兩部分，第一部分為裂紋面上的動摩擦作用而引起的能量損耗，第二部分為裂紋開裂和擴展時，形成新裂紋面所吸收的能量。此外，當損傷大量存在且損傷尺寸較大時，結構的整體受力也會發生變化，進而影響結構的阻尼特性。以往的阻尼研究中，雖然會涉及到損傷對于阻尼的影響，但很少會直接給出損傷與阻尼的量化關系。

1 理論模型

在阻尼特性研究中，阻尼多用比阻尼容量ψ來表征，其表達式如下

當外載荷為循環交變載荷時，微裂紋就會處于周期性的張開閉合交替狀態。當裂紋閉合時，根據II型裂紋的裂尖位移場，可得到裂紋兩個面的相對位移，表達式如下

式中，G為材料剪切模量。κ=（3-v）/（1+v），v為材料泊松比。βa為裂尖奇異性主導區域半徑，0<β<1，本文β取0.5。r為裂紋面上任一點至較近一端裂尖的距離，a為裂紋半長。KⅡ'為裂紋面上摩擦力和單胞邊界載荷共同作用時的應力強度因子，其表達式如下

式中，σN是接觸壓力峰值。〈 〉為單邊符號，當符號內表達式值為負時，結果為零，此時裂紋處于靜摩擦狀態；而當該符號內表達式值為正時，結果取原值，此時裂紋處于動摩擦狀態。

當裂紋面閉合時，裂紋面上的接觸壓力可視為在裂紋面上均為分布，并等于方向的單胞邊界載荷。而當裂紋張開時，此時裂紋面上無接觸壓力。當在單胞邊界上施加周期性對稱正弦載荷時，微裂紋面上的接觸壓力可表達為

因單胞內部存在裂紋，當單胞的剪切和拉伸變形同時達到最大時，單胞的應變能達到最大。但在本文中，由于裂紋的尺寸較小，不討論裂紋對于應變能的影響。

因忽略微裂紋對應力分布的影響，懸臂梁的宏觀應力分量可直接由彈性力學得到

式中，q為施加在懸臂梁上表面的周期性對稱正弦均布載荷，L和h分別為懸臂梁的長和高，如圖1。通過轉換公式將應力分量從整體坐標系下轉換至局部坐標系下，作為單胞模型的邊界載荷，就能得到單條裂紋在一個載荷周期內的摩擦耗能。將所有裂紋的摩擦耗能疊加，就能得到一個載荷周期內整個懸臂梁的摩擦耗能Efr，其表達式為

其中，下標“j”表示第j條裂紋，Nc為懸臂梁中微裂紋總數量。F為應力強度因子修正系數，為修正相鄰裂紋之間的相互影響，其數值可在應力強度因子手冊上查到。

懸臂梁的應變能可通過將應變能密度積分得到，最后得到整個懸臂梁的摩擦阻尼。

2 仿真分析

建立如圖2的有限元單胞模型，為驗證單胞模型的準確性，有限元模型計算結果與相應的理論模型計算結果進行了對比，材料參數和摩擦系數見表1。

從表2中可以看到，理論模型的計算結果與仿真結果有著較好的一致性。同時，摩擦耗能隨著裂紋長度的增大而增大，并接近成二次關系。

為驗證懸臂梁模型的準確性，建立有限元模型與相應的理論模型進行對比。懸臂梁的長度為1000mm，高度為200mm。兩排的長度、角度、間距均相同的微裂紋對稱地預設在懸臂梁中面的兩側，每排共有8條微裂紋，分別假設了三種微裂紋的長度（a=3mm，5mm，10mm），裂紋角度均取θ=π/4，應力強度因子修正系數F均取1.01。均布載荷的峰值由0.05MPa遞增至0.5MPa。懸臂梁的材料參數和動摩擦系數與單胞算例相同。圖3為分別由理論模型和有限元模型計算得到摩擦耗能Efr與均布載荷q的變化關系圖。

結果顯示，理論模型和仿真分析的計算結果有著很好的一致性，理論模型計算結果略低于仿真分析結果。此外圖3結果顯示，摩擦耗能Efr與均布外載荷q成二次關系。

懸臂梁摩擦阻尼ψfr的計算對比結果見表3。

從表2中可以看到，理論模型計算得到的結果與仿真分析結果相對接近。同時，摩擦阻尼與裂紋半長a成二次關系。對比球墨鑄鐵，Mg-Zn-Y-Zr合金的阻尼8.4E-3和1.3E-2，當這些材料內部存在微裂紋時，其阻尼會因摩擦作用而會顯著上升。

3 總結

常用的工程材料中都普遍存在著微裂紋。本章針對均質材料，建立了一種可預測由微裂紋引起的摩擦阻尼模型，通過建立含單條微裂紋的摩擦阻尼單胞模型，分析了裂紋長度對于單胞摩擦耗能的影響。基于此單胞模型，建立了含有規則裂紋的懸臂梁模型，研究了裂紋長度和外載荷對于摩擦耗能和摩擦阻尼的影響。對比了常用工程材料的阻尼值，證明了對于低粘性的材料，例如鑄鐵等，由微裂紋引起的摩擦阻尼是不可忽略的。

[責任編輯：朱麗娜]