自主選擇構造命題 嚴謹規范推理證明

鄧厚波

蘇科版《數學》教材第166頁“探索研究”第12題，給出三個條件，要求我們用兩個事項作為條件，另一個事項作為結構，構造1～3個命題，并判斷和證明命題的真假.這類習題在各級考試中比較常見，應對這類考題的關鍵是先在草稿上構造真命題，然后貫通思路，再嚴謹規范書寫推理證明.下面我們舉例關注這類問題.

例1 如下圖，有三個論斷：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③∠A=∠C，請從中任選兩個作為條件，另一個作為結論構成一個命題，并證明該命題的正確性.

【解析】（方法1）已知∠B=∠D，∠A=∠C，證明∠1=∠2.

證明：∵∠A=∠C，∴AB∥CD.

∴∠B=∠BFC.

∵∠B=∠D，∴∠BFC=∠D.

∴DE∥BF.∴∠DMN=∠BNM.

∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，∴∠1=∠2.

（方法2）已知∠B=∠D，∠1=∠2，證明∠A=∠C.證明過程略.

（方法3）已知∠1=∠2，∠A=∠C，證明∠B=∠D.證明過程略.

例2 如右圖所示，已知AB∥CD，分別探究下面圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關系，請你從四個圖形中任選一個，說明你所探究的結論的正確性.

（1）結論：① ；② ；

③ ；④ ；

（2）選擇結論 ，說明理由.

圖3 圖4

【解析】（1）①如圖1，過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，

∴∠1+∠PAB=180°，

∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

②如圖2，過點P作直線PE∥AB，

∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

③如圖3，∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD.

∵∠PEB是△APE的外角，

∴∠PEB=∠PAB+∠APC，

∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

④如圖4，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角，

∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

∴∠PAB=∠APC+∠PCD.

（2）選擇結論①，證明同上.

（作者單位：江蘇省海安縣城南實驗中學）