一元一次不等式中的常見錯誤

熟練地求解一元一次不等式，不僅是初中生數學計算能力的重要體現，而且對后續的用一元一次不等式解決問題、解一元一次不等式組都有著深遠影響.下面我們一起來看看一元一次不等式中的常見錯誤.

一、一元一次不等式的概念

例1 下列不等式是一元一次不等式的是（ ）.

A.x2-9x≥7x-6 B.x+[1x]>0

C.x+y<0 D.[13]（x+2）>4x-1

【錯解】B.

【分析】A選項中未知數x的最高次數為2，

B選項中[1x]的分母含有未知數，C選項中含有x、y兩個未知數，因而它們都不是一元一次不等式，只有D符合一元一次不等式的三個特征：①只含一個未知數；②未知數的最高次數是1；③不等式的兩邊都是整式（單項式或多項式）.

【正解】D.

二、移項法則

例2 解一元一次不等式：2x+6≥3x-27.

【錯解】2x+3x≤6-27.

【正解】2x-3x≥-6-27.

【分析】常見的錯誤是只移項而不變號.所謂的移項，其實是在不等式的兩邊同時加上某一項的“相反項”.比如：讓不等式右邊的項“3x”消失，是在不等式的兩邊同時加上了“-3x”，從而右邊消去3x，而左邊出現了“-3x”的項.根據不等式的性質1，可以知道，這種變化不等號的方向不變，因此有了移項變號，不等號方向不變的結論.

答案為x≤33.

三、去分母法則

例3 解一元一次不等式：[1-x4]>1-[1-2x2].

【錯解】1-x>1-2-4x.

【正解】1-x>4-2（1-2x）.

【分析】去分母是根據不等式的性質2，不等式兩邊的每一項都要同乘或同除某個數，因此，對于不含有分母的項“1”也要乘4.另外，題中的“1-x”“1-2x”是整體作為分子，在去分母的時候也要看做一個整體，換句話說，去分母的時候要加括號.

答案為x<-[15].

四、系數化為1

例4 解一元一次不等式：14-2x>6.

【錯解】x>4.

【正解】x<4.

【分析】移項、合并同類項之后，得-2x>-8.系數化為1，是根據不等式性質2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.因為-2<0，所以在不等式兩邊同時除以-2的時候，不等號的方向要改變.

五、一元一次不等式解的表示

例5 解不等式：[2x-13]-[5x+12]≤1，并將解集在數軸上表示出來.

【錯解】x≥-1，解集在數軸上表示為.

【正解】x≥-1，解集在數軸上表示為.

【分析】不等式解集在數軸上的表示，要注意：①確定臨界點，在表示“≤”或“≥”時，用實心圓點（如正解圖中‘-1點處），在表示“<”或“>”時，用空心圓點（如錯解圖中‘-1點處）；②確定方向，在表示“<”或“≤”時，向左（數軸負方向）畫（如錯解圖中方向），在表示“>”或“≥”時，向右（數軸正方向）畫（如正解圖中方向）.

六、含有字母的一元一次不等式

例6 如果關于x的一元一次不等式（a+1）x>a+1的解集為x>1，那么a的取值范圍是 .

【錯解】任何數.

【正解】a>-1.

【分析】觀察（a+1）x>a+1和x>1可知：不等號的方向沒有改變.根據不等式的性質2可知：對不等式的系數a+1是有要求的，條件為a+1>0，進而得到a>-1.

例7 已知a，b為常數，若一元一次不等式ax+b>0的解集是x<[13]，則bx-a<0的解集是 .

【錯解】x>-3.

【正解】x<-3.

【分析】觀察ax+b>0和x<[13]，可知：a<0，不等式解集為x<[-ba].進而有[-ba]=[13]，且b>0.所以bx-a<0的解集為x<[ab].又因為[-ba]=[13]，可知[ab]=-3，終得x<-3.理清a，b的符號及數量關系是解題關鍵.

七、一元一次不等式的整數解

例8 寫出一元一次不等式[5x-13]-x<1的所有正整數解 .

【錯解】x=1，2.

【正解】x=1.

【分析】解[5x-13]-x<1得x<2.而x是取不到2的，因而其正整數解只有x=1.

例9 若一元一次不等式3x-m≤0的正整數解為1、2、3，則m的取值范圍是 .

【錯解】9

【正解】9≤m<12.

【分析】先求出含有m的一元一次不等式解集：x≤[m3].再根據其正整數解為1、2、3，可知3≤[m3]<4.其中[m3]可以取到3，因為當[m3]=3時，不等式解集為x≤3，滿足題意；而[m3]不可以取到4，因為當[m3]=4時，不等式解集為x≤4，其正整數解為1、2、3、4，不滿足題意.進而得到9≤m<12.確定[m3]的范圍，臨界值能否取到是解題關鍵.

在學習的過程中，出現種種錯誤并不可怕，只要認真分析，仔細辨別，及時糾正，那么在以后的學習中定能取得進步.

（作者單位：南京師范大學附屬中學江寧分校）