一元一次不等式中的常見錯(cuò)誤

熟練地求解一元一次不等式，不僅是初中生數(shù)學(xué)計(jì)算能力的重要體現(xiàn)，而且對(duì)后續(xù)的用一元一次不等式解決問題、解一元一次不等式組都有著深遠(yuǎn)影響.下面我們一起來看看一元一次不等式中的常見錯(cuò)誤.

一、一元一次不等式的概念

例1 下列不等式是一元一次不等式的是（ ）.

A.x2-9x≥7x-6 B.x+[1x]>0

C.x+y<0 D.[13]（x+2）>4x-1

【錯(cuò)解】B.

【分析】A選項(xiàng)中未知數(shù)x的最高次數(shù)為2，

B選項(xiàng)中[1x]的分母含有未知數(shù)，C選項(xiàng)中含有x、y兩個(gè)未知數(shù)，因而它們都不是一元一次不等式，只有D符合一元一次不等式的三個(gè)特征：①只含一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是1；③不等式的兩邊都是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）.

【正解】D.

二、移項(xiàng)法則

例2 解一元一次不等式：2x+6≥3x-27.

【錯(cuò)解】2x+3x≤6-27.

【正解】2x-3x≥-6-27.

【分析】常見的錯(cuò)誤是只移項(xiàng)而不變號(hào).所謂的移項(xiàng)，其實(shí)是在不等式的兩邊同時(shí)加上某一項(xiàng)的“相反項(xiàng)”.比如：讓不等式右邊的項(xiàng)“3x”消失，是在不等式的兩邊同時(shí)加上了“-3x”，從而右邊消去3x，而左邊出現(xiàn)了“-3x”的項(xiàng).根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可以知道，這種變化不等號(hào)的方向不變，因此有了移項(xiàng)變號(hào)，不等號(hào)方向不變的結(jié)論.

答案為x≤33.

三、去分母法則

例3 解一元一次不等式：[1-x4]>1-[1-2x2].

【錯(cuò)解】1-x>1-2-4x.

【正解】1-x>4-2（1-2x）.

【分析】去分母是根據(jù)不等式的性質(zhì)2，不等式兩邊的每一項(xiàng)都要同乘或同除某個(gè)數(shù)，因此，對(duì)于不含有分母的項(xiàng)“1”也要乘4.另外，題中的“1-x”“1-2x”是整體作為分子，在去分母的時(shí)候也要看做一個(gè)整體，換句話說，去分母的時(shí)候要加括號(hào).

答案為x<-[15].

四、系數(shù)化為1

例4 解一元一次不等式：14-2x>6.

【錯(cuò)解】x>4.

【正解】x<4.

【分析】移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)之后，得-2x>-8.系數(shù)化為1，是根據(jù)不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.因?yàn)?2<0，所以在不等式兩邊同時(shí)除以-2的時(shí)候，不等號(hào)的方向要改變.

五、一元一次不等式解的表示

例5 解不等式：[2x-13]-[5x+12]≤1，并將解集在數(shù)軸上表示出來.

【錯(cuò)解】x≥-1，解集在數(shù)軸上表示為.

【正解】x≥-1，解集在數(shù)軸上表示為.

【分析】不等式解集在數(shù)軸上的表示，要注意：①確定臨界點(diǎn)，在表示“≤”或“≥”時(shí)，用實(shí)心圓點(diǎn)（如正解圖中‘-1點(diǎn)處），在表示“<”或“>”時(shí)，用空心圓點(diǎn)（如錯(cuò)解圖中‘-1點(diǎn)處）；②確定方向，在表示“<”或“≤”時(shí)，向左（數(shù)軸負(fù)方向）畫（如錯(cuò)解圖中方向），在表示“>”或“≥”時(shí)，向右（數(shù)軸正方向）畫（如正解圖中方向）.

六、含有字母的一元一次不等式

例6 如果關(guān)于x的一元一次不等式（a+1）x>a+1的解集為x>1，那么a的取值范圍是 .

【錯(cuò)解】任何數(shù).

【正解】a>-1.

【分析】觀察（a+1）x>a+1和x>1可知：不等號(hào)的方向沒有改變.根據(jù)不等式的性質(zhì)2可知：對(duì)不等式的系數(shù)a+1是有要求的，條件為a+1>0，進(jìn)而得到a>-1.

例7 已知a，b為常數(shù)，若一元一次不等式ax+b>0的解集是x<[13]，則bx-a<0的解集是 .

【錯(cuò)解】x>-3.

【正解】x<-3.

【分析】觀察ax+b>0和x<[13]，可知：a<0，不等式解集為x<[-ba].進(jìn)而有[-ba]=[13]，且b>0.所以bx-a<0的解集為x<[ab].又因?yàn)閇-ba]=[13]，可知[ab]=-3，終得x<-3.理清a，b的符號(hào)及數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

七、一元一次不等式的整數(shù)解

例8 寫出一元一次不等式[5x-13]-x<1的所有正整數(shù)解 .

【錯(cuò)解】x=1，2.

【正解】x=1.

【分析】解[5x-13]-x<1得x<2.而x是取不到2的，因而其正整數(shù)解只有x=1.

例9 若一元一次不等式3x-m≤0的正整數(shù)解為1、2、3，則m的取值范圍是 .

【錯(cuò)解】9

【正解】9≤m<12.

【分析】先求出含有m的一元一次不等式解集：x≤[m3].再根據(jù)其正整數(shù)解為1、2、3，可知3≤[m3]<4.其中[m3]可以取到3，因?yàn)楫?dāng)[m3]=3時(shí)，不等式解集為x≤3，滿足題意；而[m3]不可以取到4，因?yàn)楫?dāng)[m3]=4時(shí)，不等式解集為x≤4，其正整數(shù)解為1、2、3、4，不滿足題意.進(jìn)而得到9≤m<12.確定[m3]的范圍，臨界值能否取到是解題關(guān)鍵.

在學(xué)習(xí)的過程中，出現(xiàn)種種錯(cuò)誤并不可怕，只要認(rèn)真分析，仔細(xì)辨別，及時(shí)糾正，那么在以后的學(xué)習(xí)中定能取得進(jìn)步.

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）