一元一次不等式與一元一次方程的關(guān)聯(lián)與區(qū)別

魏思晴

一、關(guān)于基本概念

所謂的“一元一次”指的是“只含有1個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1”，這是一元一次方程和一元一次不等式的最大相同點(diǎn).還有一處相同點(diǎn)非常容易被同學(xué)們忽略：當(dāng)我們談到“一次”時(shí)，等號(hào)或不等號(hào)左右兩邊的式子都必須是整式.

方程是含有未知數(shù)的等式，用等號(hào)連接，表達(dá)相等關(guān)系.而不等式則是用<，>，≤，≥，≠這些不等號(hào)連接的，表達(dá)的是不等關(guān)系.符號(hào)的區(qū)別是兩者在形式上最顯著的差異.自然界中的關(guān)系里，不等關(guān)系更為常見，碰巧相等才是特殊情況.

舉個(gè)例子，[2x-13]=[5x4]-5是一元一次方程，而[2x-13]≥[5x4]-5則是一元一次不等式.

二、關(guān)于基本性質(zhì)

尋找方程的解的過程叫做解方程.同樣，尋找不等式解集的過程叫做解不等式.解方程的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)：1.等號(hào)兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)或整式，等式依然成立；2.等號(hào)兩邊同時(shí)乘或除同一個(gè)非零的數(shù)，等式依然成立.

在不等式中，對(duì)于加減也有相似的不等式的基本性質(zhì)：不等號(hào)兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)或整式，不等式依然成立，但在乘或除的性質(zhì)上，有所不同.不等號(hào)兩邊同時(shí)乘或除同一個(gè)正數(shù)，不等式依然成立；同時(shí)乘或除同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)就應(yīng)該改變方向.

一元一次不等式和方程一樣，求解都需要經(jīng)歷去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為1這幾個(gè)步驟，本質(zhì)上還是通過一步一步地轉(zhuǎn)化，將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榻獾幕拘问?在解題過程中，如果出現(xiàn)不等式兩邊同時(shí)乘或除負(fù)數(shù)的情況，一定要記得改變不等號(hào)的方向哦！

以之前的不等式為例，要找到[2x-13]≥[5x4]-5的解集，第一步需要去分母，不等式兩邊同時(shí)乘以12，得到4（2x-1）≥15x-60.接下來涉及去括號(hào)，得到8x-4≥15x-60.下一步移項(xiàng)，得到8x-15x≥-60+4.合并同類項(xiàng)，得到-7x≥-56.最后一步系數(shù)化為1時(shí)，不等式兩邊同時(shí)除以-7，需要改變不等號(hào)的方向，得到原一元一次不等式的解集為x≤8.

三、關(guān)于解和解集

在一元一次方程中，能使等式成立的未知數(shù)的值就是方程的解.同樣，在一元一次不等式中，能使不等式成立的未知數(shù)的值就是不等式的解.一元一次方程的解通常只有一個(gè)，是一個(gè)具體的數(shù)值，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn).而能使不等式成立的解卻有很多，在某個(gè)范圍內(nèi)，不等式都能成立，把這些不等式的解看作一個(gè)整體，就是不等式的解集.不等式的解集在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)一定區(qū)域的連續(xù)的點(diǎn).用≤，≥連接的不等式的解集在數(shù)軸上通常是一條射線；用<，>連接的不等式的解集可看成是一條射線去掉端點(diǎn)后剩余的部分.

繼續(xù)解讀文章開始用到的例子，[2x-13]=[5x4]-5的解是x=8，只有這一個(gè)值能夠使等式成立，在數(shù)軸上就是8所對(duì)應(yīng)的那個(gè)點(diǎn).而[2x-13]≥[5x4]-5的解集為x≤8，意思是在不超過8的范圍內(nèi)的任何數(shù)都可以讓不等式成立，如x=8，x=0，x=[-53]等，它們都是不等式的解.這個(gè)不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是包括8和在8左邊的所有的點(diǎn)，這些點(diǎn)組成了一條射線.

四、關(guān)于一元一次不等式組

將兩個(gè)一元一次不等式聯(lián)立在一起，就形成了一個(gè)一元一次不等式組，在一元一次方程中，并沒有一元一次方程組一說.一元一次不等式組的解，就是同時(shí)滿足幾個(gè)一元一次不等式的未知數(shù)的值，也就是每一個(gè)不等式的解集的公共部分.如果幾個(gè)不等式的解集沒有公共部分，也就是說這個(gè)不等式組是無(wú)解的.

我們?cè)谥芭e例的不等式上做一些變化，如果不等式[2x-13]≥[5x4]-5與2（x+4）≤3x+3聯(lián)立起來就形成了[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②]分別求出兩個(gè)不等式的解集，兩個(gè)解集的公共部分就是不等式組的解集.由不等式①得x≤8，由不等式②得x≥5.得到原不等式組的解集為5≤x≤8.類似地，由三個(gè)、四個(gè)，甚至多個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，也同樣是分別求出每個(gè)式子的解集，再找尋公共部分，即可解出整個(gè)不等式組，請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試著解一解[2x-13≥5x4-5，①2x+4≤3x+3，②x-2<1. ③]

在接觸新知識(shí)的時(shí)候，類比以往熟悉的知識(shí)，找到相關(guān)的聯(lián)系點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上對(duì)比區(qū)別之處，是一種很好的學(xué)習(xí)方法.同學(xué)們?cè)谌粘５膶W(xué)習(xí)和生活中，需要注意積累，善于聯(lián)想，自主整理、充實(shí)、升級(jí)自己的知識(shí)庫(kù)，才能讓所學(xué)皆為我所用，成為大家口中學(xué)習(xí)不費(fèi)力的學(xué)霸、學(xué)神級(jí)人物.

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）