高中數學中的立體幾何解題技巧

吉繆明

(無錫市第三高級中學,江蘇 無錫 214000)

高中數學中的立體幾何解題技巧

吉繆明

(無錫市第三高級中學,江蘇 無錫 214000)

立體幾何是高中數學難點和重點之一，作為需要空間思維的立體幾何，我們對幾何圖形的認識、處理及選擇正確思維方法直接決定了學生基礎知識的掌握程度和應用水平.本文中筆者基于自身多年的教學經驗，總結分析了立體幾何解決技巧，以供同仁參考.

立體幾何;解題;技巧

立體幾何是高中數學知識中的重點內容，同時也是高考數學試卷中的一大難點，在高考試卷中占有較大比重的分值.在一般的練習或者考試中，由于立體幾何知識本身的特殊性、多變性以及學生自身數學邏輯的不足性，解決題目方法的單一性，最終導致學生在解決題目時出現大量的錯誤，失去了很高的分值.其實針對立體幾何的相關習題，不是一味的枯燥的計算，立體幾何也有其相關的解題技巧和解題方法.

一、借助輔助，實現題目簡單化

構造輔助線是在立體幾何中常會出現的解題方法，也是最有效、最簡便的一種解題方法.通過構造輔助線，可以使原來的立體幾何的圖形變得更加清晰，更加條理分明，題目的解決相較來說也會更加的容易.

例如，如右圖所示，有一二面角α-l-β，其中A、B∈α,D∈l，P∈β，PA⊥α，且PA=PD，ABCD是一個矩形，M，N分別是AB，PC的中點，證明：MN是異面直線AB和PC的公垂線.

分析 對于這道題目，看到題目的已知后，我們就能夠知道僅靠題目的已知是無法進行結論的證明的，要想實現結論的證明，就必須添加適當的輔助線，借助輔助線，實現結論的證明.根據題目給出的已知：M，N分別是AB，PC的中點，我們可以考慮“利用中點，連接中位線”的方法實現證明.針對這道題目，我們就可以選取PD的中點Q(如圖所示)，然后連接QN、QA，于是QN就是三角形的中位線，由題目給出的已知，得出AM∥DC，于是接下來就可以根據題目的已知進一步地實現題目的證明.通過已知，加上輔助線實現題目的最終證明，這樣的解題技巧是我們應當掌握的.

二、轉換觀念，實現解題快速化

針對立體幾何來說，對于其中的一些特殊的問題，如求最值問題或者運動變化問題等，可以通過轉換思想觀念的方法實現題目的解決.

例如，如圖所示，有一正方體ABCD——A′B′C′D′，其棱長為2，已知長度為2的線段PQ滿足：P在正方體的AA′棱上，Q在面A′B′C′D′內，那么問PQ的中點M的軌跡的面積是多少？

分析 針對這道題，這是一道動點問題，我們要抓住問題的關鍵和題目的已知，仔細的進行分析，對于題目中給出的已知“P在正方體的AA′棱上，Q在面內”我們可以分析出無論線段PQ在什么位置，都有PA′⊥A′Q，然后再根據三角形的性質“斜邊上的中線等于斜邊的一半”就可以實現全部已知條件的利用，于是接下來的題目的解決就變得簡單了.在這道題目中，我們通過將題目中PQ=2的這一定長轉換為了MA=l的這一定長，實現了題目的解決.在立體幾何中，經常有多種類似的問題，我們只要掌握好轉換的思想，巧妙地應用解題觀念的轉換，那么就可以顯著提高解題的速度.

三、巧設未知，實現計算簡便化

針對立體幾何的計算，有一個實現計算簡便化的方法，就是根據題目設置未知數，然后利用未知數構建相關的算式與方程，最終通過未知數使得計算方法能夠進行化簡，最終實現題目的具體解決.

例如，如圖所示，有一個正四棱臺，其上、下底面面積分別為Q1,Q2，側面積是Q，試求其中一個對角面的面積.

分析 對于這道題，題目中給出的已知非常的少，只有三個計算的數據，但是要求解其中的一個對角面，需要的條件比較多，如何才能夠簡單的進行計算呢？這時，就可以采用“設而不求”的計算方法，通過在題目中構造參數，然后實現題目的求解.我們可以設出需要的已知量，設上下底面的邊長分別為a，b，斜高是l，棱臺的高是h，于是對角面的計算應該是：

總而言之，針對立體幾何的解題來說，我們面對題目時應當不慌不忙，不驕不躁，靜下心來仔細地讀每一道習題，認真審題，找出題目中給出的已知，認真地進行分析，選擇合適的解題方法技巧：設而不求，做輔助線，轉換思想等，最終實現題目的輕松解決.

[1]江士彥. 芻議高中數學中的立體幾何解題技巧[J]. 讀與寫(教育教學刊)，2015(11):99+134.

[2]楊國鋒. 對立體幾何試題的一些分析和思考[J]. 數學學習與研究，2015(16).

[3]何豪明，陳朝陽. 立體幾何學習策略[J]. 中小學數學(高中版)，2015(04).

[4]許衛華. 高中數學立體幾何教學策略分析[J]. 數理化學習，2014(03).

[責任編輯：楊惠民]

2017-06-01

吉繆明(1978-)男,江蘇無錫人,本科,中學一級,主要從事高中數學教學與研究.

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1008-0333(2017)19-0018-02