例談高中三角函數求值題的解題技巧

張新艷

(山東省濟南市平陰縣第一中學，山東 濟南 250400)

例談高中三角函數求值題的解題技巧

張新艷

(山東省濟南市平陰縣第一中學，山東 濟南 250400)

三角函數是高中數學教學的重要組成部分，具有高度抽象性的特點，對學生的邏輯分析能力、歸納總結能力要求較高.而且三角函數也是高考的重要考點，題型多變.鑒于此，為了減少學生的學習難度，提高學生的解題速度，高中數學教師應當重視從多方面、多層次培養學生的三角函數解題技巧.本文主要針對常見的三角函數解題方法進行討論.

三解函數；解題；技巧

一、角轉化求值

在一些三角函數求值題目中，正余弦、正余切以及正余弦角度之間的求值雖然簡單，但是形式多變對學生的思維能力要求較高.對于此類題型，學生應當懂得萬變不離其宗這一道理，并靈活運用三角函數公式，進行快速化簡.需要注意的是學生在進行化簡時應當認真仔細，避免出現遺漏、丟失情況，以致于出現思路正確，而結果錯誤的現象.

例如這樣一道題目：求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.顯然，題目中給出的并非是常見特殊角.為此，在求解時可以根據積和化差公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 兩個公式進行轉化.將sin20°cos70°轉化為sin20°sin20°；sin10°sin50°轉化為-[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]/2，再進一步進行化簡可得到：(1-cos60°)/2=1/4.從中能夠看出，角的轉化是相當靈活的，學生在應用時也要適當地靈活應用.這樣才能快速解題，節省解題時間.

上述例題是正余弦之間的轉換，而在實際的三角函數題目中還包含正余弦、正余切之間的轉化.如這樣一道題目：已知tanα=2，求(4sinα-2cosα)/(5cosα+3sinα)的值.顯然，這道題目并沒有給出具體角度，而只是給出了正切值，來求解一個復雜的正余弦三角函數值.對此，可以靈活應用tanα=sinα/cosα這一公式，將所求式子的分母、分子同除以cosα.經過化簡可得到：(4tanα-2)/(5+3tanα)=10.從上述兩道題目中能夠對于這種需要相互轉化的三角函數題目來說，學生應先完全把握住轉化公式，并根據已知條件，求解式子羅列出相應的公式，并擇其優者而用之，最終完成轉化求值，縮短解題時間.

二、數形結合求值

有一些三角函數求值題目與圖形息息相關.單純依靠學生的想象力找尋解題思路比較困難.對此種題目，教師就可以引導學生學會如何結合圖形，快速完成題目求解.而且在日常教學中，教師還可以采用多種多樣的教學方法逐步培養學生的畫圖習慣，一旦遇到能夠通過圖形解決的題目便可以充分發揮出圖形的優勢.但是有一部分題目既可應用數形結合方法，也可應用化簡求值方法，學生可以根據自身的學習水平適當選擇.

圖1

圖2

三、升冪降冪

利用升冪降冪可以將高次冪的三角函數進一步進行化簡.這種類型在三角函數求值題目中也比較常見.通常在解決這種問題時需要結合公式，如2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α=cos2α等公式.也就是說學生不僅要能夠熟背這些公式，還能夠結合題目加以應用.這樣才能快速解決三角函數求值問題.當然，學生在化簡的過程中，要盡可能地保證準確率，有時很可能會因為一丁點的錯誤得到錯誤結果，浪費解題時間.

例如這樣一道題目：化簡(1-cos4α-sin4α)/(1-cos6α-sin6α).解決這道題目最簡單的思路便是通過將題目轉化成為形式更加簡單的題目，也就是說要盡可能地降低題目中的高次冪，以方便求解.但是明顯題目中的冪數并不統一，若要進行化簡就要選擇升冪或者降冪.根據公式sin2α+cos2α=1，可將題目中的1進行適當的轉化.如1-cos4α-sin4α可轉化成為與之冪數相對等的(sin2α+cos2α)2-cos4α-sin4α.而在1-cos6α-sin6α中，再次提高sin2α+cos2α的冪數，簡單的說是將原式子轉化為(sin2α+cos2α)3-cos6α-sin6α.這樣便能夠整體將式子進行轉化.而后經過加減運算，便能夠得到最終的化簡結果：原式子=2cos2αsin2α/3cos2αsin2α(sin2α+cos2α)=2/3.從中能夠看出，升冪降冪選擇的關鍵在于根據題目中原有的冪數，并靈活應用1這一關鍵數字.在三角函數中，sin2α+cos2α=1這一公式在多種求值題目中均可應用.總的來說，高中數學教師應重點培養學生的靈活性思維，能夠根據題目進行適當的轉化，從而提高三角函數解題速度.

三角函數既是高中數學的重點、難點，也是數學抽象性的集中體現.為此，教師在教學時應重視采用靈活的教學方法，加深學生對三角函數公式的記憶，并結合各種練習題目，提高學生的實踐能力，最終提高學生的解題效率.總之，是在新課改逐漸深入的背景下，數學教師在教學時應當摒棄傳統的灌輸式教學模式，避免學生對數學產生厭惡情緒.尤其是三角函數求值題目較難，需要學生花費較長的時間鉆研、熟知、掌握，教師應當充分發揮自身的引導作用，幫助學生真正掌握三角函數求值題的解題技巧.

[1]黃嬋.三角函數求值的分類辨析[J].教育教學論壇,2015(10)：174-176.

[2]彭萬雷.例析三角函數求值題的解題技巧[J].華夏教師,2016(12):37.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張新艷(1980.01-)，女，山東濟南人，平陰一中，中學二級，本科，高中數學教學.

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