考慮測量誤差的步進加速退化試驗建模與剩余壽命估計

劉小平， 張立杰， 沈凱凱， 高強

(1.燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

考慮測量誤差的步進加速退化試驗建模與剩余壽命估計

劉小平1,2， 張立杰1,2， 沈凱凱1,2， 高強1,2

(1.燕山大學 先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

步進應力加速退化試驗已發展成高可靠、長壽命產品可靠性評估與剩余壽命估計的主要試驗方法。為研究測量誤差在基于步進應力加速退化試驗方法剩余壽命估計中的影響，建立了基于Wiener過程的考慮個體差異和測量誤差的退化模型。將Wiener過程的漂移系數隨機化描述個體差異，在首達時間意義下得到了壽命分布的概率密度函數。基于極大似然估計法對模型中引入的未知參數進行估計。采用蒙特卡洛方法對激光器的性能退化進行了仿真研究。研究結果表明，考慮測量誤差的退化模型的模型擬合性和剩余壽命估計精度都優于不考慮測量誤差的方法，可以提高可靠性估計的精度與剩余壽命預測的準確性。

概率論； 隨機過程； 剩余壽命估計； 步進應力； 測量誤差； 極大似然估計

0 引言

材料性能的提高和制造技術的進步極大地提高了產品壽命和可靠性，誕生了高可靠、長壽命產品。然而高可靠、長壽命產品的可靠性評估與剩余壽命估計成了產品研制和使用中棘手的問題，軍工、航空航天及電子工業等多個領域已對高可靠、長壽命產品的可靠性評估與剩余壽命估計提出了高效準確的要求[1-3]。

步進應力加速退化試驗(SSADT)使用樣本少，可在短時間內獲得壽命試驗以外的反映產品可靠性的性能退化數據。不僅克服了壽命試驗可靠性信息少、信息獲取難的缺點，也克服了恒定應力加速退化試驗樣本量大、低應力下退化速度慢的缺點，成為高可靠、長壽命產品可靠性評估與剩余壽命預測的有效試驗方法[4-10]。

在現有加速退化建模方法中，Wiener過程能夠體現性能退化在時間軸上的不確定性，并且在首達時間意義下具有良好的統計分析特性，在退化過程建模和剩余壽命估計中得到了廣泛的研究[10-17]。在恒定應力下，Peng等[12]對同時考慮測量誤差與個體差異的線性Wiener過程的參數估計方法與剩余壽命分布進行了研究；司小勝等[10]在文獻[12]的基礎上研究了帶測量誤差的非線性Wiener過程退化建模與剩余壽命估計，同時考慮了退化中的個體差異。

然而，現有文獻對基于Wiener過程的步進應力加速退化建模并沒有同時考慮個體差異與測量誤差對參數估計精度的影響。唐圣金等[15]基于Wiener過程對步進應力加速退化試驗進行了建模與剩余壽命估計研究，考慮了個體差異卻沒有考慮測量誤差；肖倩等[17]在步進應力下建立了考慮測量誤差的線性Wiener過程退化模型，進行了優化設計，沒有對該模型進行統計分析，也沒有考慮個體差異。

在剩余壽命估計中，個體差異與測量誤差都是普遍存在的。為了在SSADT場合下同時考慮個體差異和測量誤差對建模精度的影響，本文將Wiener過程漂移系數隨機化來體現個體差異，引入測量誤差對觀測數據的影響建立了退化模型。針對步進應力下的性能退化特征數據，提出了一種基于極大似然估計法的退化模型未知參數估計方法。最后，通過仿真分析對本文提出的模型進行了驗證。

1 退化建模及剩余壽命估計

從前面的分析可見，Wiener過程能夠很好地描述退化過程的動態特性和理解產品失效的本質。假設產品真實的性能退化過程能用線性Wiener過程描述，則單個應力下的產品性能退化過程為

x(t)=x(0)+λt+σB(t),

(1)

式中：x(t)為t時刻產品性能退化真實值；x(0)為退化初值，為方便分析，令x(0)=0；λ為漂移系數，表征產品性能退化速度；B(t)為標準布朗運動，表征退化動態特性；σ為擴散系數。

然而，真實的退化數據由于受到儀器或者環境引起的隨機誤差影響，難以精確測量。類似于文獻[10,12]在恒定應力下帶測量誤差的Wiener過程建模方法，測量值可以描述為

y(t)=x(t)+ε,

(2)

設產品的失效閾值為w，常用真實退化過程的首達時間定義產品壽命T，即

T=inf{t:x(t)≥w|x(0)

(3)

當λ為固定參數時，線性漂移Wiener過程的首達時間分布服從逆高斯分布，對應的概率密度函數為

(4)

(5)

(6)

根據剩余壽命的定義，Lt=inf{lt:T-t|T>t}，不難得到t時刻的剩余壽命概率密度函數、可靠度函數以及剩余壽命的期望值分別為

fLt(lt)=f(t+lt)/R(t),

(7)

(8)

(9)

從(6)式和(9)式可以看出，在常應力下，對于可以用Wiener過程描述性能退化的高可靠、長壽命產品，其可靠性評估與剩余壽命估計都可以解析確定，接下來研究如何采用SSADT實現快速的可靠性評估與剩余壽命預測。

2 步進應力加速退化模型

加速模型的選擇是實現加速退化試驗中關鍵的一步，常見的有阿倫尼斯模型、艾林模型和逆冪律模型[15]。本文以表征溫度應力與退化速度之間關系的阿倫尼斯模型為例，給出考慮測量誤差的SSADT建模方法以及下節未知參數估計方法，其余加速模型的使用與此模型類似。對基于Wiener過程的SSADT而言，一般認為Wiener過程的漂移系數與應力有關，而擴散系數與應力無關，相應的加速模型為

λ(S)=aexp (-b/S),

(10)

假設各步進應力下的失效機理不發生變化，l步步進應力試驗加載順序如圖1所示。Si表示第i步加速應力，ti表示完成第i步加速應力的時間。由(10)式加速模型可知，不同加速應力下有不同的退化速度，即漂移系數

λi=λ(Si)=aexp (-b/Si)，i=1,2,…,l.

(11)

(12)

圖1 SSADT應力加載順序Fig.1 SSADT stress loading sequence

3 參數估計

本節基于極大似然估計方法對退化模型未知參數進行估計。對于不考慮個體差異的退化過程，只需按照Wiener過程的獨立增量性就可以進行參數估計；對于考慮個體差異卻不考慮測量誤差的退化過程，文獻[15]給出了兩步極大似然估計方法進行參數識別，文獻[12]給出了在常應力下同時考慮個體差異與測量誤差的Wiener過程未知參數模型估計方法，本節給出帶測量誤差的SSADT模型的參數估計方法。

由于條件限制，SSADT更多地適用于內場試驗，因此可以假設各試樣的測量間隔與測量次數相同。假設共有N個試樣進行試驗，共有l步步進加速應力，由(12)式可得，第j個樣本在應力Si下的第k次測量性能退化觀測值為

(13)

(14)

各個產品性能退化量測量值之間相互獨立，則樣本的對數似然函數為

(15)

計算(15)式關于μa和σa的1階偏導數[12]，得到

(16)

(17)

令(16)式和(17)式等于0，得到σa和σa的受限極大似然估計值如下：

a(σ,σε,b)=,

(18)

(19)

將(18)式和(19)式代入(15)式中，得到未知參數的剖面對數似然函數如下：

(20)

參數σ、σε和b的極大似然估計值可以采用多維搜索算法最大化剖面似然函數(20)式得到，采用Matlab中的fminsearch函數實現，將得到的極大似然估計值、ε和代入(18)式和(19)式，則可以得到a與a.

4 仿真分析

本節以激光器SSADT蒙特卡洛仿真來驗證本文所提方法，計算結果僅用來說明方法的正確性，不對激光器試驗構成指導。針對激光器[18]的試驗數據，采用文獻[12]提出的方法得到參數值λ=2.04×10-3，σλ=4.20×10-4，μa=12.55，σa=2.58，σ=1.04×10-2，σε=3.09×10-2.

激光器的運行性能特征參數對溫度應力較敏感，假設產品主要受溫度應力的影響，則性能退化速度與溫度應力之間的關系符合阿倫尼斯模型。當運行性能特征參數超過失效閾值，則認為其失效，預設失效閾值w=10. 設正常工作溫度為25 ℃，令b=2 600，取步進應力分別為25 ℃、50 ℃、75 ℃，分別每隔150h測量一次，每個應力下測量5次，仿真的8個試樣步進應力加速退化曲線如圖2所示，具體數據見表1.

圖2 SSADT退化曲線Fig.2 SSADT degradation curves

將文獻[15]提出的不考慮測量誤差的步進應力加速退化試驗數據處理方法記為M1，本文提出的方法記為M2，引入赤池信息量準則(AIC)和總體均方誤差(TMSE)作為評價方法好壞的標準[15]。AIC的值越小，模型擬合的優良性越好，TMSE的值越小，壽命估計的準確性越高，二者計算公式如下：

AIC=2(k-lnL(θ)),

(21)

(22)

分別采用兩種方法計算的各參數估計值、AIC、TMSE、平均失效時間(MTTF)和對數似然函數的最大值(Log-LF)如表2所示，TMSE是以時間間隔為1×103h在區間[0,1×104h]內的10個測量點的計算值。

從表2真實值可以看出，原始數據的誤差標準差非常小，表明原始數據受測量誤差的影響較小，仿真的各個階段退化曲線(見圖2)都接近于直線，也證明了這一點。采用方法M2對仿真數據進行統計分析，結果(見表2)非常地接近真實值，說明了本文方法的正確性。方法M1沒有考慮測量誤差，測量誤差通過表示，導致值偏大。相比方法M1，方法M2的Log-LF值較大，AIC值較小，說明本文方法模型擬合性優于方法M1；方法M2的TMSE值也小于方法M1，MTTF值更接近真實值，說明本文方法具有更好的壽命估計精度。總體來說，方法M2比方法M1在模型擬合性和壽命估計精度兩個方面都較優。

表1 SSADT退化數據

表2 方法M1與M2的比較

為了更直觀說明方法M2的正確性以及參數估計的準確性，根據(5)式～(9)式，利用表2中的參數估計結果可得圖3～圖5概率密度函數、可靠度以及剩余壽命概率密度函數。從中不難發現，方法M2的曲線更接近于真實值，表明本文提出方法的準確性。

圖3 方法M1與M2的概率密度函數比較Fig.3 Comparison of probability density functions of M1 and M2

圖4 方法M1與M2的可靠度函數比較Fig.4 Comparison of reliability functions of M1 and M2

圖5 方法M1與M2的剩余壽命分布函數比較Fig.5 Comparison of residual life distribution functions of M1 and M2

5 結論

1)基于線性Wiener過程研究了考慮測量誤差的步進應力加速退化建模和剩余壽命估計問題。引入測量誤差對觀測數據的影響，將漂移系數隨機化表示退化過程中產品的個體差異，建立了線性Wiener過程退化模型。

2)真實的退化過程受測量誤差的影響，難以直接得到，針對步進應力加速退化試驗的測試數據，提出了一種基于極大似然估計的退化模型未知參數估計方法。

3)仿真實例對比分析表明，本文提出的考慮測量誤差的步進應力加速退化建模方法模型擬合性和剩余壽命估計精度都優于不考慮測量誤差的方法，可以提高可靠性估計與剩余壽命預測的準確性。

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Step Stress Accelerated Degradation Test Modeling and Remaining Useful Life Estimation in Consideration of Measuring Error

LIU Xiao-ping1,2， ZHANG Li-jie1,2， SHEN Kai-kai1,2， GAO Qiang1,2

(1.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science of Ministry of Education of China, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China;2.Hebei Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Accelerated degradation test (ADT) has been developed into a main test method, which can be used to estimate the reliability and remaining useful life (RUL) of products with high reliability and long life. In order to study the effect of measurement error on the estimation of RUL in the step stress accelerated degradation test, a degradation process modeling based on Wiener process model considering the measurement error and the individual variation is proposed. The drift coefficient of Wiener process is randomized to describe the individual variation in different equipment, and the probability density function of life distribution is obtained at first hitting time. The maximum likelihood estimation method is used to estimate the unknown parameters introduced in the model. Monte Carlo method is used to simulate the performance degradation of laser. The results show that the fitting of model and the accuracy of RUL estimation in the degradation model considering the measurement error are better than those in the model without considering the measurement error, which can enhance the estimation accuracy of reliability and the prediction accuracy of RUL.

probability theory; stochastic process; remaining useful life estimation; step stress; measurement error; maximum likelihood estimation

2016-12-08

劉小平(1989—), 男, 博士研究生。E-mail: liu_xp163@163.com

張力杰(1969—), 男, 教授，博士生導師。E-mail: ljzhang@ysu.edu.cn

TB114.37

A

1000-1093(2017)08-1586-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.017