基于三維梁理論的電磁軌道炮復合身管抗彎性能分析

尹冬梅， 肖宏成， 栗保明

(南京理工大學 瞬態物理國家重點實驗室， 江蘇 南京 210094)

基于三維梁理論的電磁軌道炮復合身管抗彎性能分析

尹冬梅， 肖宏成， 栗保明

(南京理工大學 瞬態物理國家重點實驗室， 江蘇 南京 210094)

基于復合材料的三維厚壁梁理論，考慮梁的三維應變、撓曲等效應，建立了圓形電磁軌道炮身管纖維纏繞復合外殼的等效抗彎剛度計算模型。采用組合梁的等效抗彎剛度計算法，對纖維纏繞的軌道炮身管的整體抗彎剛度進行了分析，并與層合板理論法、有限元法做了對比。結果顯示，3種計算方法在纏繞角度較大時，計算結果一致性較好。分析了纖維纏繞角度的變化、不同徑向位置的碳纖維纏繞角度變化以及不同內膛絕緣材料對身管軸向抗彎剛度的影響。研究結果表明：身管的軸向抗彎剛度在纏繞角度較小時，隨著纏繞角度的增大，呈明顯的下降趨勢，并且其受內層碳纖維的纏繞角度影響要比外層碳纖維的要大；高密度、高彈性模量的內膛絕緣材料并不一定就能提高身管的軸向抗彎剛度。

兵器科學與技術； 三維梁理論； 電磁軌道炮； 身管； 層合板理論； 抗彎剛度

0 引言

復合材料在電磁軌道炮身管中應用比例的增加，可以減輕身管質量，從而更好地滿足電磁軌道炮身管輕量化設計的要求，但這將意味著對身管剛度的設計提出了更高要求。根據文獻[1-2]中的研究，對于大口徑軌道炮身管，特別是懸臂結構的軌道炮身管，在軸向需要表現出較大的柔性，例如：由于身管的自重，身管將發生彎曲下垂，高速發射時身管的橫向振動等，都將使彈樞離開炮口時的速度方向偏差較大，影響命中精度。研究表明，提高身管的抗彎剛度，可以改善這一問題。但至今為止，對于由多種材料復合的軌道炮身管的抗彎性能分析，見諸報道的很少。對此，本文對纖維纏繞的軌道炮身管的抗彎剛度進行研究。

本文將纖維纏繞軌道炮身管視為一個由兩部分組成的組合梁結構，即身管纖維纏繞外殼以及由內部絕緣支撐材料和導軌組成的內部復合結構。對于身管纖維纏繞外殼，本文將其視為復合材料層合管構件。目前,復合材料層合管構件抗彎剛度的理論計算方法[3-4]主要有：經典層合板理論、基于純彎構件應力應變場計算的彈性理論和梁理論。這些理論被廣泛地應用于不同的工程實際問題中，例如，文獻[5]基于層合板理論，對含金屬內襯的纖維復合材料發射筒的三維等效彈性模量進行了計算，進而對其抗彎剛度進行了分析。但此方法，忽略了殼體的曲率影響，將三維應力應變關系退化為平面狀態。Xia等[6]基于純彎構件應力應變場計算的彈性理論，通過定義Lekhnitskii應力函數，對纖維纏繞增強的復合材料夾層管的抗彎性能進行了分析。文獻[7]基于薄壁梁理論對4種不同鋪層的薄壁圓形管件的抗彎剛度進行了計算，并與試驗結果做了對比，效果較好。Kim等[8]基于厚壁梁的高階剪切理論，假定扭轉是均勻的，對復合材料圓管的抗彎剛度進行了預測，但計算比較復雜。由于電磁軌道炮身管纖維纏繞外殼相對普通復合材料層合管構件較厚，故本文將基于復合材料厚壁梁理論，考慮三維應變、主次撓曲等效應，采用較為簡便的方法建立身管纖維纏繞外殼的抗彎剛度計算模型，然后采用組合梁的抗彎剛度計算方法對纖維纏繞的軌道炮身管的整體等效抗彎剛度進行分析。

1 電磁軌道炮身管纖維纏繞外殼的抗彎剛度計算模型

1.1 運動學分析

由于纖維纏繞角度的不同將引起身管纖維纏繞外殼在軸向抗變形能力的差異，并且軌道炮身管纖維纏繞層往往比較厚，故可將其看作一個厚壁梁來進行分析，假設：

1)纖維纏繞外殼的材料是均質且連續的各向異性材料；

2)纖維纏繞外殼的橫截面輪廓在其平面內不變形，即保持其原形不變；

3)同時考慮纖維纏繞外殼的主、次撓曲效應；

4)考慮橫向剪切效應，剪切應變γzs、γzn在纖維纏繞外殼的橫截面內均勻分布；

5)纖維纏繞外殼發生的變形均為線彈性變形；

6)采用圣維南非均勻扭轉模型。

為了描述纖維纏繞外殼的幾何結構，定義了全局笛卡爾坐標系(x,y,z)和局部曲線坐標系(s,z,n)，如圖1所示。其中曲線坐標的坐標原點位于中面線上，n為中面線的法線方向，s為中面線的切線方向，α定義了相對于s的纖維纏繞方向角，與傳統意義的纏繞角β(即纏繞纖維縱向與芯模(或管件)軸向的夾角)之和為90°. 笛卡爾坐標系的原點位于纖維纏繞外殼的橫截面的幾何中心，根據上述假設，基于梁理論，外殼截面上任意一點在笛卡爾坐標系中的三維位移場[4,9-10]為

u(x,y,z)=u0(z)-yφ(z)，

(1)

v(x,y,z)=v0(z)+xφ(z)，

(2)

w(x,y,z)=w0(z)+θx(z)y+θy(z)x-
φ′(z)[Fw(s)+nrs(s)]，

(3)

式中：u、v和w分別為沿x軸、y軸和z軸方向的位移；u0(z)、v0(z)和w0(z)分別代表沿x軸、y軸和z軸的剛體平移位移；θx(z)、θy(z) 和φ(z)分別為沿x軸、y軸和z軸的轉動位移；Fw為撓曲函數；rs為中面線上任一點在曲線坐標系中沿s方向的坐標。

圖1 電磁軌道炮身管纖維纏繞外殼的坐標系關系Fig.1 Relationship between coordinate systems for filament- wound housing of railgun barrel

該點在笛卡爾坐標系中的坐標可以用中面線上的點坐標表示為

(4)

(5)

撓曲函數可表示為

(6)

式中：Ψ為扭轉函數；rs(s)、rn(s)分別為中面線上任一點在曲線坐標系中分別沿s方向、n方向的坐標，并可以表示為

(7)

(8)

1.2 應變- 位移關系

基于上述假設，可以得到以下應變場：

(9)

(10)

(11)

式中：εzz、γsz和γnz分別為軸向應變、環向剪切應變和橫向剪切應變；δ為中面線圍成的面積與其周長的比值。

假設，n軸與x軸的夾角為φ0，則

(12)

1.3 本構方程

對于正交各向異性的纖維纏繞外殼，其任意第k層的非材料主方向坐標系(曲線坐標系)下，應力應變關系為

(13)

式中：Qij為偏軸剛度矩陣，可由正軸剛度矩陣通過坐標轉換計算而得。

根據文獻[4，8]，在無內外壓力場作用時，纏繞層橫截面面外應力相對于面內應力是小量，可以忽略，故假設：

σss=σnn=σsn=0.

(14)

但由于泊松比效應，橫截面面外應變不能忽略，則

εss=co1εzz+co2γsz,

(15)

εnn=co3εzz+co4γsz,

(16)

γns=co5γzn,

(17)

式中：co1、co3分別為z方向引起的s方向和n方向的泊松耦合系數；co2、co4分別為s方向和n方向的剪拉耦合系數；co5為交叉耦合系數。其表達式如下：

由(13)式～(17)式可將應力表示為

(18)

式中：C11=Q12co1+Q22+Q23co3；C12=Q12co2+Q23·co4+Q36；C21=Q16co1+Q26+Q36co3；C22=Q16co2+Q36co4+Q66；C33=Q44+Q45co5.

1.4 內力平衡方程的建立和等效抗彎剛度的計算

作用在纖維纏繞外殼截面上的合力和合力矩，可通過將纏繞層上的應力沿外殼截面積分得到：

Tz(z)=?AσzzdndS,

(19)

My(z)=?AσzzxdndS,

(20)

Mx(z)=?AσzzydndS,

(21)

(22)

(23)

Mz(z)=?AσzzwdndS,

(24)

將(18)式代入(19)式～(24)式，并忽略位移的高階微分項可得到內力和位移的關系為

(25)

式中：aij與纖維繞外殼的各向異性及其截面的幾何結構有關。

對于圓形復合材料管件，常見的纏繞方式為層合管環向剛度一致型(CUS型)纏繞方式。根據文獻[4,6,8-9]的研究，對于CUS型，可將(25)式做進一步的簡化，并假設纖維纏繞外殼只受沿x軸的彎曲載荷作用，根據(25)式可求得該彎矩與曲率之間的關系為

(26)

根據材料力學中彎矩、抗彎剛度以及曲率之間的關系，可得該纖維纏繞外殼的等效抗彎剛度為

(27)

2 電磁軌道炮身管整體的軸向抗彎剛度計算模型

本文將軌道炮身管看作一個復合材料組合梁結構，則可根據組合梁的等效軸向抗彎剛度[1,7,11]計算方法，得到軌道炮身管整體的軸向抗彎剛度為

(28)

若以如圖2所示的圓口徑軌道炮身管結構為例，根據上述計算方法，該身管的軸向抗彎剛度可由內部軌道(結構1和結構2)、內膛絕緣材料(結構3和結構4)的軸向抗彎剛度和身管纖維纏繞外殼(結構5)的軸向抗彎剛度疊加而成，即

(29)

圖2 電磁軌道炮纖維纏繞身管的結構示意圖Fig.2 Structure of filament wound barrel for railgun

本文所采用的算例中，身管的內膛半徑為25 mm，身管懸臂端長為4 m，其相關幾何結構參數如表1所示，材料參數如表2和表3所示。內膛軌道與內膛絕緣材料均視為各向同性材料。該軌道炮身管的復合外殼由碳纖維和玻璃纖維以±α角度混合纏繞而成，其軸向抗彎剛度可以由上述方法計算得出。

表1 纖維纏繞材料的設計參數

表2 銅導軌和內膛絕緣材料的材料參數

表3 纖維纏繞外殼的材料參數

假設如圖2所示的內膛軌道與內膛絕緣材料的鄰界面和y軸的夾角φ=60°，對于不同的纖維方向角α=900-β時，由(27)式、(29)式可計算出該結構的軌道炮身管的整體軸向抗彎剛度值。

3 計算與分析

圖3顯示了用3種方法計算的不同纏繞角度β下，該結構的軌道炮身管(內膛絕緣材料為陶瓷)的整體軸向抗彎剛度值的變化曲線。其中方法1三維梁理論(本文所采用的方法)，方法2層合板理論(基于層合板理論計算纖維纏繞外殼的等效軸向彈性模量的方法)，方法3有限元法(通過軸向加載計算身管整體等效軸向彈性模量的方法)。通過比較，3種方法計算結果均顯示：隨著纏繞角度的增大，身管的軸向抗彎剛度在纏繞角度較小時，呈明顯的下降趨勢；在纏繞角度較大時，變化幅度較小，并出現稍微上升。這是因為纏繞角度越小，纖維縱向彈性模量對身管的軸向模量貢獻越大，故而身管的軸向抗彎剛度就越大，但此時纖維對身管徑向的變形約束作用減弱，從而削弱了身管徑向的剛度。根據文獻[5]的研究，纖維纏繞圓管的強度性能主要由環向纖維層決定，這是因為纖維材料具有很強的各向異性，尤其是力學性能，縱向性能要優于橫向性能，當某一方向性能增強，與此方向垂直的方向性能就將減弱，故而當采用較小的纖維纏繞角度時，管件的強度性能就受到削弱。

圖3 電磁軌道炮身管的軸向抗彎剛度值隨纏繞角度的變化值Fig.3 Change of axial bending stiffness of railgun barrel with winding angle

3種計算方法在纏繞角度較大時，計算值一致性較好。在纏繞角度較小時，方法1和方法2的計算結果相對差距較小，但與方法3的計算結果相差較大，其中方法1的結果相對更接近方法3。這是因為與方法2相比，方法1考慮了身管纖維纏繞外殼的三維應變效應，但都還未能綜合考慮身管內膛絕緣材料和導軌在內的身管整體的三維應力應變效應。

根據前期研究表明，纏繞角度較小時，碳纖維纏繞比玻璃纖維纏繞對身管的軸向抗彎剛度的貢獻要大，為此，本文對碳纖維纏繞做了進一步的研究，即分別變化碳纖維纏繞層1和纏繞層2的纏繞角度，其他纖維纏繞層的纏繞角度均保持45°不變，計算了身管的軸向抗彎剛度值，如圖4所示。通過對比可知，當纏繞角度較大時，身管的抗彎剛度受碳纖維層1和纖維層2的β角度變化影響較小。當纏繞角度小于45°時，碳纖維層1的纏繞角度減小時，身管抗彎剛度值增加的幅度比碳纖維層2的纏繞角度減小時身管抗彎剛度值增加的幅度要大?？梢?，同等條件下，減小內部碳纖維層的纏繞角度可更有效地增加身管的抗彎剛度值。

圖4 電磁軌道炮身管軸向抗彎剛度隨碳纖維層纏繞角的變化Fig.4 Change of axial bending stiffness of railgun barrel with winding angle of carbon fiber layer

軌道炮的結構設計中，內膛的陶瓷絕緣材料有時會采用環氧樹脂絕緣材料，這勢必將對身管的抗彎剛度產生影響。為此，以上述結構為例，將陶瓷材料換成環氧樹脂材料，計算了身管抗彎剛度的變化，如圖5所示。為了表述方便，內膛絕緣材料分別為陶瓷和環氧樹脂時的身管稱為陶瓷身管和環氧樹脂身管。隨著纏繞角度的增加，陶瓷身管和環氧樹脂身管的軸向抗彎剛度也基本隨之減小，由于陶瓷的彈性模量比環氧樹脂的高，故而相同的纏繞角度下，身管的抗彎剛度也較大。

圖5 含不同內膛絕緣材料的身管軸向抗彎剛度隨纏繞角度的變化Fig.5 Change of axial bending stiffness of railgun barrel with different bore insulators with winding angle

為了進一步研究絕緣材料對抗彎剛度的影響，根據材料力學中懸臂梁的撓度計算方法[1]，計算了這兩種身管自重作用下的懸臂自由端的位移，如圖6所示。通過對比發現，隨著纏繞角度的增大，兩種身管懸臂自由端的位移變化趨勢是一致的，均隨著纏繞角度的增大而增大，這與其本身的軸向抗彎剛度的變化趨勢是相反的。但是，在纏繞角度較大時，陶瓷身管的懸臂自由端的位移明顯較小，而在纏繞角度較小時，兩種身管懸臂自由端位移相近，甚至環氧樹脂身管的懸臂自由端的位移略小。這是因為身管懸臂自由端位移和身管自重與身管抗彎剛度的比值呈正比，盡管在相同的纏繞角度時，陶瓷身管的軸向抗彎剛度比環氧樹脂身管的大，但陶瓷材料的密度較大，導致其自重較大，而在較小的纏繞角度時，陶瓷身管的軸向抗彎剛度隨纏繞角的減小而增加的幅度沒有環氧樹脂身管的大，導致二者比值比環氧樹脂身管的略大。

圖6 含不同內膛絕緣材料的身管受自重作用下懸臂自由端的位移隨纏繞角度的變化Fig.6 Change of displacements of cantilever free top of railgun barrel with different bore insulators with winding angle under gravity

4 結論

本文基于復合材料三維梁理論，建立了電磁軌道炮身管纖維纏繞外殼的抗彎剛度計算模型。根據組合梁的剛度計算法對纖維纏繞的軌道炮身管的整體抗彎剛度進行了分析，并與相應的層合板理論法、有限元法的計算結果進行了比較。結果表明，隨著纖維纏繞角度β的變化，3種計算方法所得結果的變化趨勢一致，并且計算值在纏繞角度較大時，尤其在β=45°時，一致性相對較好。由于方法1考慮了身管纖維纏繞外殼的三維應變效應，減小了其計算結果與方法3之間的差距，但還是未能綜合考慮身管內膛絕緣材料和導軌在內的身管整體的三維應力應變效應。這可為軌道炮身管的初步設計提供一定的參考依據。

此外，本文根據基于三維梁理論所建立的電磁軌道炮抗彎剛度計算模型，分析了纖維纏繞角度對軌道炮身管軸向抗彎剛度的影響，以及不同徑向位置的碳纖維纏繞時的纏繞角變化對身管軸向抗彎剛度的影響，并且還對內膛絕緣材料分別為陶瓷和環氧樹脂的身管軸向抗彎剛度隨纏繞角的變化情況做了分析。結果表明：

1)隨著纏繞角度的增大，身管軸向抗彎剛度在纏繞角度較小時，呈明顯的下降趨勢，在纏繞角度較大時，變化幅度較小，并出現稍微的上升。但纏繞角度對身管徑向剛度和強度的影響與對身管軸向抗彎剛度的影響基本相反。由此可見，身管在各方面的力學性能存在相互制約，單純的調整纏繞角度，其力學性能不能同時得到增強，要根據實際工程需要進行多設計參數的優化調整。

2)纏繞角度較小時，身管抗彎剛度值受內層碳纖維層的纏繞角度影響要比外層碳纖維層的要大，并且計算結果表明，同等條件下，減小內部碳纖維層的纏繞角度可更有效地增加身管抗彎剛度值。

3)隨著纏繞角度的增加，內膛絕緣材料分別為陶瓷和環氧樹脂的身管軸向抗彎剛度都基本隨之減小，由于陶瓷的彈性模量比環氧樹脂的高，故而相同纏繞角度下，其身管抗彎剛度也較大。但較小纏繞角度時，陶瓷身管的軸向抗彎剛度隨纏繞角度減小而增加的幅度沒有環氧樹脂身管的大，導致前者的懸臂自由端位移比環氧樹脂身管的略大?？梢?，含高密度高彈性模量的內膛絕緣材料的身管在纏繞角度較小時，減小纏繞角度并不能更好地改善抗彎性能。

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Analysis of Bending Resistance of Composite Barrel for Electromagnetic Railgun Based on 3D Beam Theory

YIN Dong-mei, XIAO Hong-cheng, LI Bao-ming

(National Key Laboratory of Transient Physics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

An estimation model of effective bending stiffness for filament-wound composite housing of circular railgun barrel is established based on the 3D composite material thick beam theory. Some effects of beam, such as the three-dimensional strain and warping, are considered in the proposed model. The calculation method of effective bending stiffness of composite beam is used to analyze the bending stiffness of the whole filament-wound composite barrel for railgun. The results are compared with those obtained by laminated plate theory and finite element method. The result shows that the calculated results of the three methods have good consistency for bigger winding angle. The effects of the winding angles of fibers and carbon fibers in different radial positions and the different bore insulators on the bending stiffness of barrel are studied. The research result reveals that the bending stiffness of barrel obviously drops with the increase in winding angle while the winding angle is smaller. The winding angle of inner carbon fiber layers has a great effect on the bending stiffness compared with outer carbon fiber layers. The bore insulator with high density and high elastic module can’t always enhance the bending stiffness of barrel.

ordnance science and technology; 3D beam theory; electromagnetic railgun; barrel; laminated plate theory; bending stiffness

2016-12-07

尹冬梅(1981—)，女，講師。E-mail:dongmeiyin2010@163.com

TJ866

A

1000-1093(2017)08-1476-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.08.003