解決高中導(dǎo)數(shù)在幾何中應(yīng)用問題的方法探析

鄭育玲

摘 要 導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)新增的內(nèi)容之一，它的引入在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用。導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題常用并且十分便利的手段，不僅能解決函數(shù)單調(diào)性、極值和最值問題，還能解決平面幾何、立體幾何的相關(guān)問題。導(dǎo)數(shù)的方法與傳統(tǒng)的方法比較更為簡潔靈活，因此研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題意義重大。本文主要對(duì)導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何應(yīng)用問題的進(jìn)行了詳細(xì)的歸納和總結(jié)，給出實(shí)際例子進(jìn)行分析，最終給出導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用總結(jié)出一套解題模式或解題策略，以期指導(dǎo)學(xué)生對(duì)這類題型的解題訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 幾何 定積分

1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容分析

課本是通過速度及其變化率來引出導(dǎo)數(shù)概念的，并進(jìn)一步介紹了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用。新課程中，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的處理需要反映以下三個(gè)方面的特點(diǎn)。

1.1重視直觀，數(shù)形結(jié)合，突出本質(zhì)

在2004年開始實(shí)施的普通高中新課程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)不再以極限的嚴(yán)格定義為基礎(chǔ)，而是通過大量的例子，直接引入導(dǎo)數(shù)定義，并直接用極限符號(hào)表述由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，這里的處理體現(xiàn)出形的直觀與生動(dòng)，符號(hào)與數(shù)的刻畫的精確與便利，同時(shí)也揭示出導(dǎo)數(shù)的幾何意義與代數(shù)特征，符合高中學(xué)生的年齡特征與學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

另外，利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)性、從曲邊梯形面積的計(jì)算與變速運(yùn)動(dòng)物體所走路程的計(jì)算引入定積分等，都充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，在高中階段這部分內(nèi)容的教與學(xué)更需要突出形對(duì)數(shù)的直觀展示。

1.2關(guān)注過程，歸納通法，控制運(yùn)算

教學(xué)中應(yīng)盡量從學(xué)生熟悉、易理解的問題情境中提煉數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)工具，讓學(xué)生理解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并從通性通法的角度認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)工具的價(jià)值與意義。

作為多項(xiàng)式函數(shù)的特例，一次函數(shù)與二次函數(shù)為初中、高中階段學(xué)生所熟悉的；而三次函數(shù)既有極大值、極小值，又含有零點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)處理較為方便，因此，高中階段，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)時(shí)，大多數(shù)以不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)作為載體進(jìn)行剖析，以控制運(yùn)算的復(fù)雜性.其他類型的函數(shù)則用類似的方法進(jìn)行處理。

1.3動(dòng)靜結(jié)合，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)與最優(yōu)化問題中的應(yīng)用

在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)從動(dòng)靜兩個(gè)方面理解導(dǎo)數(shù)f'（x）。

（1）若把f'（x）看成是f（x）。在點(diǎn)x出的導(dǎo)數(shù)，那么，這是點(diǎn)（x，f（x））是靜止的，f'（x）是確定的。

（2）當(dāng)點(diǎn)（x，f（x））沿著曲線f（x）運(yùn)動(dòng)時(shí)，f'（x）隨著變化，這是f'（x）就是x的函數(shù)，它是變化著的。

因此，在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)是，要從靜止與運(yùn)動(dòng)的角度來細(xì)致地加以刻畫，既有單調(diào)性，也有最值、極值問題，并借助圖像進(jìn)行分析，把握函數(shù)的特征。

在利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題時(shí)，要從實(shí)際問題中確定相關(guān)的最值與極值問題模型，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，加以解決。

2例題解析

2.1平面圖形旋轉(zhuǎn)所得幾何體體積問題

解題策略：（1）確定旋轉(zhuǎn)曲線f（x）；（2）確定定積分的上下限；（3）運(yùn)用定積分求解該旋轉(zhuǎn)體的體積：V=€%i（f（x））2dx。

例1 由曲線y=和直線x=1及x軸圍成的平面圖形饒x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為 。

解：由題意幾何體的體積€%iXdx=（€%ix2）|=。

解題引導(dǎo)：確定定積分的上下限→根據(jù)定積分的幾何意義即可求出.（1）轉(zhuǎn)化：將求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為運(yùn)用定積分求解，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)；（2）運(yùn)用定積分求解簡單的幾何圖形的體積：V=€%i（f（x））2dx；（3）注意a，b的取值。

2.2定積分在求面積中的應(yīng)用

解題策略：（1）觀察所求圖形，是否需要分割成若干個(gè)曲邊梯形進(jìn)行求解；（2）確定定積分的上下限：通常是所學(xué)初等函數(shù)的交點(diǎn)，聯(lián)立函數(shù)求解交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和。

例2 函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3x2所圍圖形的面積是_____。

解：聯(lián)立直線y=2x與拋物線y=3x2，解得交點(diǎn)為（-3，-6）和（1，2）拋物線y=3x2與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)（-，0）。設(shè)所圍部分面積為S，則S=（3x22x）dx=所以所圍部分的面積為。

解題引導(dǎo)：求所圍封閉部分的面積，先要對(duì)所圍部分進(jìn)行分割到三個(gè)象限內(nèi)，分別對(duì)三部分進(jìn)行積分求和即可。（1）求幾何圖形的面積：在直角坐標(biāo)系中，由曲線f（x）、g（x），直線x=a，x=b（a

總之，把握好導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，突出本質(zhì)特征，提高學(xué)生的求解運(yùn)算能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 尹學(xué)軍. 關(guān)于高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)的思考[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究. 2011（03）.