不定積分中分部積分法的教學方法初探

李慶賓++薛均曉

摘要：分部積分法是計算不定積分的一個重要方法，也是高等數學教學中的難點。根據多年教學實踐，嘗試在分部積分法公式引入、方法應用等教學過程中，突破“主動講與被動聽”的模式，鼓勵學生通過獨立思考、主動探索的方式，理解并掌握該方法，逐步引導學生對分部積分法做分析、歸納和總結，切實提高大學數學課堂的教學質量。

關鍵詞：不定積分；分部積分法；基本初等函數

一、引言

不定積分是高等數學中的一個重要部分，其學習效果的好壞直接影響學生對后續知識的學習。而分部積分法是計算積分的一類重要的、基礎的方法。學生在學習這種方法時，有幾個方面的困惑：一是對分部積分公式似懂非懂，二是對被積表達式的分解拿捏不準，三是對更進一步利用分部積分法解決復雜問題缺乏思路。究其原因，是長期以來教師在講授本節內容時，往往采用“告知公式—證明公式—舉例—練習”的教學模式，對學生缺乏必要的啟發和引導。

二、分部積分法的初步學習

（一）精心設計導入例題，引出分部積分公式

如何計算積分 ∫xex2dx ？由于剛剛學習過第一類換元積分法，對于這道題目，學生很容易想到用x去湊x2的微分，得到 ∫ex2dx2 ，從而很快算出結果。然后教師提問，如果將上述積分稍加改變為∫xexdx，又該如何計算呢？這時受剛剛解題思路的影響，學生會主動嘗試變形∫xexdx= ∫exdx2 （1），或者∫xexdx=∫xde2 （2），但都無法積分出結果。教師要讓學生思考為什么這里換元積分法失效。學生經過探索比較后發現，“湊”完之后的被積表達式中，并未出現相同的函數，無法化繁為簡，且微分符號d前后兩部分的函數類型并未改變。此時，教師繼續引導：等式（1）、（2）右端被積表達式的結構均為udv，眾所周知，積分是微分的逆運算，學生不難想到，在兩個函數相乘的微分公式中，有duv = vdu + udv，等式兩邊積分并移項得到∫udv=uv-∫vdu。教師要讓學生進一步分析該等式的結構，使其發現在計算不定積分時可以用∫ f（x）dx = ∫udv = uv-∫vdu，由于先積分出來了一部分原函數uv，所以稱這個等式為分部積分公式。

（二）驗證分部積分公式的正確性

有了分部積分公式之后，教師可以讓學生自己應用該公式計算上面的積分，并驗證結果是否正確?？赡軐W生一開始會選擇接著式（1）計算， ∫xexdx= ∫exdx2= （x2ex-∫x2dex）= x2ex- ∫x2exdx，結果發現雖然確實積分出來一部分原函數，但新積分變得更復雜，再往下計算就毫無意義了。然后學生自然會想到換式（2）來計算，∫xexdx=∫xdex=xex- ∫exdx = xex- ex+ C，問題立刻迎刃而解，并且對xe x- ex+ C求導可以驗證該結果是正確的。

學生通過親自動手演算，一方面能夠體會到分部積分公式在求原函數時的奇妙之處，加深對公式的理解和應用；另一方面，學生會發現在使用該公式時，恰當地選擇u、 v至關重要，一是因為微分dv容易湊出，二是因為新積分∫vdu更容易計算出原函數。

（三）通過講解例題，總結技巧和規律

為了使學生順利使用分部積分法，結合基本初等函數的類型，我們首先設計四個習題，并適當加以引導和點撥，著重介紹分解被積表達式的思想和方法，然后讓學生自己完成求解過程和規律的總結。

例1：計算 ∫x2 lnxdx

分析：這里被積函數是冪函數與對數函數相乘，但由于對數函數的原函數并不容易知道，所以學生只能選擇冪函數去湊微分，于是就有原式 = ∫ lnxdx3= （x3 lnx-∫x2dx），新積分可以直接算出。

練習：計算∫x2 arctan xdx

分析：本題被積函數為冪函數與反三角函數的乘積，與例2特點一樣，可以讓幾名學生到講臺前演板，這樣既能充分調動學生參與課堂的積極性，又能讓教師實時掌握學生對該知識點的掌握情況，

例2：計算 ∫x2 cos xdx

分析：這里被積函數是冪函數與三角函數相乘，并且兩者湊微分都很容易，學生通過簡單嘗試不難發現，只能選擇“動”三角函數，從而有原式=∫x2d sinx=x2sinx-2∫x sin xdx，新積分與原積分相比較，被積函數結構一樣，但更簡單（冪函數的冪次降低了），再使用一次分部積分法就可以得到積分結果。

例3：計算 ∫excos xdx

分析：本題與例2類似，但由于指數函數的導數和積分不變，而正弦、余弦函數的導數和微分互換（忽略正負號），因此，學生選擇“動”ex或者cos x都可以。兩次分解被積表達式，使用公式后，會再次出現原積分∫excos xdx，解方程即可以求得原函數族。

待講解完例題之后，教師提問兩個問題：一是分部積分法適合哪類題型，二是如何快速決定 ，學生通過例題的講解和練習很快能夠得到答案：第一，當被積函數是不同類的函數相乘時，可以考慮使用分部積分法；第二，選擇不動量時，冪函數優于指數函數和三角函數，劣于指數函數和對數函數，因此，有一個便于學生記憶的口訣為“反對冪指三”或者“反對冪三指”。同時，教師應該讓學生明白，當需要多次使用分部積分法解決問題時，第一次選擇不“動”類函數，以后每一次分解被積表達式時，這類函數仍然作為 ，否則就會出現循環，致使得不到最終結果。

二、對分部積分法的再認識

（一）被積函數只有一類的情形

例4：計算∫ arctan xdx

分析：這類題比較特別，被積函數只有一個，可以看成是arctan x與1相乘，使用分部積分公式時arctan x就是 u，x就是 v。

例5：計算 ∫（x2+a2）n dx，（x>0，n>1，n∈N）

分析：被積函數為同一個函數的n次冪，無法拆開，只能將其看成是一個整體，因此有 In =∫ （x2+a2） n dx= （x2+a2） n + 2n∫（x2+a2） n + 1 dx =（x2+a2）n + 2n In - 2n a2In+ 1 ，解得遞推公式，In+ 1 = 2na2 （2n-1）In + （x2+a2）n ，根據I1 = a arctan a + C，由遞推公式可以得到所需要的結果。

（二）被積函數需要先作變形的情形

例6：計算∫ x tan2 xdx

分析：這里根據文中提到的 的優選順序“反對冪指三”，應該選擇x為 u，但三角函數tan2 x不好湊微分，怎么辦？這里只有兩個選擇，要么重新選擇tan2 x為u，要么通過恒等變形把tan2 x換掉。顯然選擇后者更加簡單直接，即有原式=∫ x sec2 xdx - ∫ xdx=∫ xd tanx-∫ xdx式

例7：計算 ∫ sin 2x + 1 dx

分析：被積函數含有根號，學生很容易想到先作換元 去根號，原式=∫t sin tdt ，再使用分部積分法即可。

三、結束語

分部積分公式的引入比較自然，符合學生的認知規律，在教師的逐步引導和啟發下，學生通過練習能夠很快掌握這種方法，教學效果非常明顯。依照“反對冪指三”的順序選擇也不是絕對的，只是分解被積表達式時的一個大的原則，也會有例外的情況。要想熟練使用分部積分法，學生還需要做大量的習題，不斷積累經驗，這樣才能快速、準確地計算出積分結果，真正使數學能力得到提升。

參考文獻：

[1]王林雪，路靜文.國內外探究式教學的研究述評[J].

教育教學論壇，2015，（44）.

責編：清 歡endprint