淺談解析幾何中參數取值范圍的求法

沈向前

解析幾何中確定參數的取值范圍，幾乎成了高考必考題之一，是綜合性較強的一類問題。

在平時學習時，對于這類問題的求解普遍感覺困難。在學習過程中，總結歸納出解決這類問題的基本思路是：尋找所求變量與相關變量的關系，從中建立相應的函數方程或不等式，將問題轉化為求相應函數、方程或不等式中有關變量的取值范圍。即轉化為代數中求值域或最值問題的求解，或建立相應關系式轉化為幾何表示，根據關系式的幾何意義求解。

本文通過幾個簡單的例子，加以解釋。首先，明確解析幾何中產生范圍的因素主要有兩個方向面：一是當直線與曲線相交時，消元后得到的一元二次方程的判別式大于零。二是圓錐曲線上點坐標所具有的范圍。這個范圍往往隱含在已知條件中，而恰恰是這個范圍決定了所要解決的目標的范圍問題。下列通過實例介紹解決這兩類問題的方法。

一、利用消元后的一元二次方程的判別式大于零

例1：直線Y=kx+1與雙曲線。X2-y2=1的左支交于A、B兩點。另一條直線L過點（-2，0）和AB中點，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為。

滿分解答：由方程組y=kx+1

x2-y2=1消去y

得（1-k2）x2-2kx-2=0 ①

設A（x1，y1），B（x2，y2），由于直線y=kx+1與雙曲線左支交于A、B兩點，則方程①應有不大于-1的不等實根。

令f（x）=（1-k2）x2-2kx-2則Δ=（-2k）2+8（1-k2）>0

2-k1-k2<-1

（1-k2）f（-1）>0且1-k2≠0

解得-2 -11

k>1或k<-1 得1 又由一元二次方程根與函數關系，知x1+x2=2k1-k2

∴AB中點為（k1-k2，11-k2）

∴直線L的方程為y-011-k2-0=x+2k1-k2+2

即y=x+2-2k2+k+2令x=0，得

b = 2-2k2 + k + 2 = 1-（k-14）2 + 1716

（找到目標b與k的函數關系）

∵12

例2：已知拋物線C方程為y2=-4x，設過點N（1，0）的直線L斜率為k，且與拋物線C相交于點P、Q，若P、Q兩點只在第二象限內運動，線段PQ的垂直平分線交X軸于點M，則M點橫坐標取值范圍為

解題思路：根據條件設出PQ的方程，然后利用根與系數關系確定線段PQ中點坐標，求出垂直平分線方程，從而可求范圍。

解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意得PQ方程為y=k（x-1）（k≠0）與y2=-4x聯立消元得ky2+4y+4k=0，y1+y2=-4k，y1y2=4∵直線L交拋物線C于兩點

∴Δ=16-16k>0

y1>0

y2>0 ∴得-1 可求得線段PQ中點坐標為（-2k2+1，-2k）

∴線段PQ的垂直平分線為y+2k=-1k（x+2k2-1）

令y=0，得M點的橫坐標為Xm=-2k2-1<-3

（k2>1）

∴M橫坐標取值范圍（-∞，-6）。

歸納：①由判別式確定變量K范圍

②用K表示目標變量

二、轉化為幾何知識求解范圍

例3：已知F1F2是橢圓的2個焦點，滿足MF1·MF2=0點M總在橢圓內，求橢圓離心率范圍。

解：∴MF1·MF2=0∴MF1⊥MF2

∵點M在以O為圓心、以C為半徑的圓上∵點M總在橢圓內部，∵c 又∵a2=b2+c2∴a2>2c2∴0 例3：若點A（4，0）在線L與曲線（x-2）2+y2=1有公共點，求直線L斜率取值范圍。

解：顯然直線L斜率存在，設直線L方程為y=k（x-3）

即：kx-y-1=0∵直線L與曲線（x-2）2+y2=1有公共點

∴2k-0-3kk2+1≤1∴-33≤k≤33

（也可以轉化為判別式法）

例4：已知坐標平面內定點A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和動點P（x，y），若AP·BP=3求MP·NP取值范圍？

滿分解答：根據AP·BP=3得（x+1，y）·（x-1，y）=3即X2+y2=4

由MP·NP=x2+y2-4x-4y=（x-2）2+（y-2）2-8

∵（x-2）2+（y-2）2表示圓x2+y2=4上的點到點（2，2）距離，

這個距離的最小值是22-2，最大值為22+2

∴MP·NP的范圍是4-82，4+82

三、點在曲線上確定范圍

例5：雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，則PF1=2PF2，則雙曲線離心率范圍？

解：設PF2=m，則PF1=2m，∴m=2a

又∵P在橢圓上，且PF2≥c-a，∴2a≥c-a，1 例6：已知F1F2是橢圓x24+y2b2=1（b>0）在X軸上的兩個焦點，若橢圓上存在點P，使PF1·PF2=0，求b點取值范圍。

解：先證結論，若B為橢圓短軸端點

則∠F1PF2≤∠F1BF2設∠F1PF2=θ

PF1=r1，PF2=r2

cosθ = r21 + r22 -4c22r1 r2 = 4a2-4c22r1 r2 -1

又∵r1r2≤（r1+r22）2=a2

∴cosθ≥a2+b2-4c22a2=cosF1BF2

當且僅當r1=r2時等號成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2，題中橢圓上存在點P，使得∠F1PF2=90°

當且僅當∠F1BF2≥90°即cos∠F1B0≤22∴b≤22a∵a≤2

∴b≤22*2=2∴b∈（0，2]

另法：∵r1+r2=2ar12+r22=4c2

∴r1r2=2b2又2r1r2≤r12+r22

∴b2≤c2=4-b2即b∈（0，2]

例7：若點O過點F（-2，0）分別是雙曲線x2a2-y2=1（a>0）中心和左焦點，點M為雙曲線右支上的任意一點，求OM·FM取值范圍。

思路分析：①首先，根據雙曲線中心過焦點求出雙曲線方程

②再將OM，FM用坐標表示出來，列出OM·FM的表達式

③根據點P的坐標范圍，從而求出結果

解：∵a2=（-2）2-1=3∴雙曲線方程式：x23-y2=1endprint