一道高考壓軸題的多種解法

江西省臨川第二中學 (344100)

游武波

一道高考壓軸題的多種解法

江西省臨川第二中學 (344100)

游武波

題目 (2017年高考全國新課標卷理科第21題)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

考試中心提供的標準答案為：

綜上，a的取值范圍為(0,1).

從以上解答可以看出，試題重在考查分類討論思想，解法雖常規，但第(2)問在使用零點存在性定理時，所選取的兩個函數值有一定難度，特別是n0的選取.下面就第(2)問給出幾種其他的解答方法：

解法一：由(1)知，若a≤0，則f(x)在R上遞減，f(x)至多有一個零點，不合條件；

若a>0，則當x→-∞時，f(x)→+∞；當x→+∞時，f(x)→+∞.∵f(x)有兩個零點,

又當x→-∞時，g(x)→-∞；當x→+∞時，g(x)→0；當x>0時，g(x)恒大于0.

圖1

于是函數y=g(x)的大致圖像如圖1所示，要使f(x)有兩個零點，只需直線y=a與函數y=g(x)的圖像有兩個交點，由圖可知，a的取值范圍為(0,1).

圖2

圖3

解法四：令ex=t，則x=lnt,t>0，于是f(x)有兩個零點?函數g(t)=at2+(a-2)t-lnt在(0,+∞)上有兩個零點?方程at2+(a-2)t-lnt=0在(0,+∞)上有兩個實根?方程a(t2+t)=2t+lnt在(0,+∞)上有兩個實根?函數y=a(t2+t)圖像與函數y=2t+lnt圖像在(0,+∞)上有兩個交點.

圖4

分別作出以上兩個函數圖像如圖3，圖4所示，由圖可知:

若a=0，則顯然兩個函數圖像只有一個交點，不合條件；若a<0，則拋物線y=a(t2+t)開口向下，與y=2t+lnt圖像只有一個交點，不合條件；若a>0，則可設拋物線y=a0(t2+t)與y=2t+lnt圖像相切，要使函數y=a(t2+t)圖像與函數y=2t+lnt圖像在(0,+∞)上有兩個交點，只需0

設拋物線y=a0(t2+t)與y=2t+lnt圖像的切點橫坐標為t0，則

0?t0=1?a0=1,∴a的取值范圍為(0,1).

圖5