一道賽題的再思考

廣東省廣州市協和中學 (510160)

許云勇

一道賽題的再思考

廣東省廣州市協和中學 (510160)

許云勇

上述不等式也曾經作為第三屆國際中學生數學競賽試題，應該說它是數學中的一道經典不等式，對于該不等式，代數證明方法有多種，但基本上都是難以入手、計算量大，對學生的分析能力、計算能力都要求較高，筆者最近對該不等式作了一些探討，得到一種更為簡潔的幾何證法，同時得到與上述不等式相關的兩個新不等式鏈，現與讀者分享.

一、結論的幾何證明

證明：在ΔABC中不妨設a≥b≥c,如圖1，以BC為邊構造等邊ΔA′BC，記AA′=d,則∠ABA′=B

圖1

注：抓住不等式中等號成立的“關鍵”時刻，巧妙地通過分析一般時刻與關鍵時刻的異同，從而使得待證不等式通過幾何關系、代數運算得以體現！

二、相關的不等式鏈

事實上，對于不等式(1)，我們可以得到一個更為完美的一個如下不等式鏈：

圖2

若AC=AB,不難看出ha=ωa=ma.故ha≤ωa≤ma,同理可得hb≤ωb≤mb,hc≤ωc≤mc.

而由柯西不等式可知(a2+b2+c2)(ma+mb+mc)≥(ama+bmb+cmc)2,