函數零點的“尋點”方式探究

江蘇省海門中學 (226100)

何振華

函數零點的“尋點”方式探究

江蘇省海門中學 (226100)

何振華

函數的零點可以從“數”“形”兩個角度理解，是溝通函數與方程、不等式的橋梁，因此函數的零點問題一直是高考考察的重點和熱點.對于零點問題，我們往往運用函數的單調性和零點的存在性定理(若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點)處理，這就需要我們找到一正一負的函數值，也是問題的難點，筆者欲和大家一起探究函數零點的尋“點”方式，以拋磚引玉.

方式一 局部探究，從小處切入，確定“點”

在某些條件下，如果函數式的某些部分的正負可以確定，這就可以通過局部探究，將原函數式變成一些非負(正)函數式的組合，從而找出符合條件的“點”.

例1 (2016江蘇第19題改編)已知函數f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)，若01，函數g(x)=f(x)-2有且只有1個零點，求ab的值.

①若g(x0)<0，xaloga2=2，bx>0，則g(x)>0；x>logb2時，ax>0，bx>blogb2=2，則g(x)>0；因此x10，因此g(x)在(x1,x0)有零點，x2>logb2且x2>x0時，g(x2)>0，因此g(x)在(x0,x2)有零點，則g(x)有兩個零點，與條件矛盾，舍；

局部探究，從小處切入，減少干擾，可以快速找到符合條件的“點”.

方式二 明確方向，合理取值驗證，確定“點”

函數式的結構特征(對數式、指數式等)往往使取值變得有跡可尋，可以通過不斷檢驗，找到符合題意的“點”.

x(0,1a)1a(1a,+∞)f'(x)+0-f(x)遞增極大值遞減

依據結構特征，探明方向，取值驗證，可以減少取“點”的盲目性，提升取“點”的精準度.

方式三 巧用不等式，適度放縮，確定“點”

利用一些常見的不等式(ex≥x+1,lnx≤x-1,...)，適度放縮，化超越式為常見的初等函數處理，從而快速找出符合條件的“點”.

x(0,1)1(1,+∞)h'(x)-0+h(x)遞減極小值遞增

利用不等式，適度放縮，挖掘本質，有助于我們找對“點”，探求到無數符合條件的“點”.

總之，依據函數的結構特點，通過局部探究、合理取值驗證、利用不等式適度放縮的方式，找到符合題意的“點”，可以在一定程度上解決函數零點的難“尋點”的問題.