二次曲線系視角下對2017年全國Ⅰ卷理數20題的反思

江西省南昌市第三中學 (330049)

張金生

二次曲線系視角下對2017年全國Ⅰ卷理數20題的反思

江西省南昌市第三中學 (330049)

張金生

2017年高考新課標全國Ⅰ卷理數的設計遵循《普通高中數學課程標準》和《高考說明》的要求和闡述，緊密聯系高中數學教學現狀，關注數學本質，滲透學科核心素養.

本文從二次曲線系的角度去研究該卷20題，請看題：

常規解法略，為巧解該題，我們先看關于二次曲線系的相關概念：

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示的曲線叫做二次曲線，它包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及兩條直線(退化的二次曲線).

二次方程(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0表示兩條直線，但這個方程展開后，是一個二次式，因此我們說這是退化的二次曲線.

已知兩條二次曲線Γ1:f(x,y)=0與Γ2:g(x,y)=0相交，且有四個交點，則方程λf(x,y)+μg(x,y)=0(λ,μ為參數)表示經過其四個交點的二次曲線系方程.若能確定所求的曲線不是Γ1:f(x,y)=0或Γ2:g(x,y)=0，我們可以只設一個參數.

當我們已知曲線h(x,y)=0，要求某些未知數時，我們可以利用λf(x,y)+μg(x,y)=h(x,y)，兩邊對比系數即可.

下面利用該知識解決筆者原創的南昌市2017年一模試題20題：

圖1

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若過點B且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M,N兩點，已知直線A1M與A2N相交于點G，試判斷點G是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由．

(2)常規方法計算量較大，此處略.

設MN:y=k(x-4)，易知A1M:x+2=t1y，A2N:x-2=t2y，A1A2:y=0，

圖2

如圖2，若一條直線與一條二次曲線交于P,Q兩點，那么對于這兩條直線OP·OQ，怎么來刻劃呢？設直線PQ的方程為y=kx+m①，曲線方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0②.

注意到點P,Q滿足③式，又③為二次齊次式，所以它一定能分解成(y-k1x)(y-k2x)=0，這就是過原點的兩直線OP·OQ，也可以將兩邊同除x2，視其為關于的二次方程，解出兩根，即為k1,k2，這即為OP,OQ的斜率．

由上可得2017年高考解析幾何20題的巧解：

我們再來深挖該題背景性質：

這兩條性質讀者不妨用前面二次曲線系的方法去簡潔證明.

關于橢圓類似性質的探究，筆者在《對一次試卷講評課的一點感悟》(見本刊2016年第4期)一文中有以下兩個結論：

2017高考全國Ⅰ卷解析幾何解答題考查了數學抽象、邏輯推理、數學運算、數據分析等核心素養，重點考查思維品質，減少計算量.數學離不開計算，核心素養下的數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.重在運算法則的掌握、運算方向的探究、方法的選擇，也就是“多一點想、少一點算”.基于核心素養視角的教育教學將是今后相當長時間段內的熱點.

本文從二次曲線系視角下探索試題的多種解法，挖掘試題的本質屬性，在提高數學學科核心素養方面作出一點探索，不到之處敬請批評指正.