復數與平面向量的關系分析及教學思考*

江西師范大學教育學院 (330022) 邱 弘江西師范大學數信學院 (330022)

劉詠梅

復數與平面向量的關系分析及教學思考*

江西師范大學教育學院 (330022) 邱 弘江西師范大學數信學院 (330022)

劉詠梅

在教學實踐中，學生經常提出疑惑：為什么復數和向量的加(減)法都與平行四邊形有關？為什么向量的乘法(數乘)和復數乘法幾何解釋不同？向量與復數兩者只是形式具有共性還是具有本質的相同，原因是什么？……這些問題不僅是高中學生需要思考的問題，也是進一步學習高等數學需要解決的問題．

1.復數與平面向量的異同

復數與向量在教學中對學生的認知影響比較大，兩者都具有“起始”的特點，兩者具有一些共同屬性，也存在一些差異.我們從屬性、運算法則、問題解決等幾個方面對此進行分析．

(1)屬性的異同

形式上的異同是兩者內在聯系的外在表現，復數和平面向量都具有代數表示方式和幾何表示方式．當向量的起點確定為坐標原點時，平面內的點既可以表示復數，也可以表示向量的終點．向量與復數都與平面內的點具有一一對應的關系(如圖1)．

圖1

向量、復數借助平面內的點建立了對應關系，具有一系列共性，在一定的條件下可以互相轉化，這有利于問題的解決．

平面向量和復數屬性之間也存在差異．向量這一概念兼具“數”與“形”的特點，可以從兩個方面分別研究[1]．向量本質是具有大小和方向的量，大小和方向相互聯系、相互制約，形成向量的特有性質．復數本質是“數”，不具方向性，但復數又是二維數，與一維數在屬性上存在差異，具有多種表示形式，而且能通過運算在代數、三角、指數等形式中互相轉化，這是向量不具備的．

(2)運算法則的異同

(3)解決問題的方法異同

向量、復數不僅自身是重要的研究對象，也是解決數學問題的重要工具，運用向量或復數的方式解決問題，具有簡潔明了的優勢．

案例2 余弦定理的證明方式是多樣的，其中借助向量和復數都可以給出，本文給出借助復數證明的思路．

證明思路：以ΔABC的頂點A為原點，邊AB為實軸建立復平面，則點A,B,C表示的復數分別為ZA=0，ZB=c，ZC=b(cosA+isinA)，通過運算實現三角問題轉化為復數問題進行解決．

上述問題的解決可以看出，通常在運用復數和向量解決問題時，在方法和思維上具有一定的共性．兩者在問題解決中也各自具有特點，向量由于具有“(有向)線段”的特點，在解決平行、垂直、重合等問題具有優勢，復數在解決代數問題方面具有優勢．

2.異同原因分析

向量和復數的相互聯系和相互對立，形成了其研究過程和研究結論具有差異性也具有一致性的特點．向量和復數在表示方法、運算法則以及問題解決等方面都具有共性，也具有差異性，這些共性或差異性起源于概念的定義和運算法則的確定背景．

(1)概念起源的差異性決定本質屬性的差異

數學的研究對象的確定依賴概念的定義，而概念的定義依賴概念的產生背景，產生背景不同，定義也不同，無論是共性還是差異性都起源于定義的共性和差異性．由于向量與復數都與平面內的點具有一一對應的關系，因而具有共性．如都不具有單調性，都只具有相等或不相等的關系等．

向量的研究起源于實際問題，也就是具有起源于“形”的特點，可以認為是“幾何→代數”的發展過程．復數的研究起源于“負數開方”問題，可以認為是“代數→幾何”的發展過程．因而，向量和復數都具有幾何形式和代數形式，但因果關系不同．

由于概念產生的背景的差異性，在研究性質時的視角存在差異性．雖然在“形式”方面的相互聯系，形成運算在形式上的共性，但本質是不同的．向量用有向線段表示，復數用平面內的點表示．向量與復數之間存在一一對應關系，但兩者不能互相代換，只能借助“點”的關系相互轉換．

(2)運算法則的共性

加減法是同類對象之間的運算，不改變對象的屬性，復數和向量的加減運算結果分別是復數和向量，幾何表示依然是同一平面內的同類對象．兩者都以平行四邊形為依據進行定義或解釋，每一個加(減)運算都對應一個平行四邊形(或三角形)．

由于向量與復數的加減運算的幾何表示都與平行四邊形相聯系，運算法則的合理性的檢驗也應與平行四邊形的性質具有不矛盾性．如平行四邊形的基本特點之一是兩條邊在對角線的投影的和等于對角線的長．說明依據平行四邊形確定向量或復數的運算，與用平面幾何方法研究的結論一致．

(3)運算法則的差異性

乘法運算對于以實際為背景形成的量一般會改變其屬性，如向量與向量相乘(數量積)結果不再是向量．向量的數量積法則確定來源于物理中相關研究，而復數的乘法運算法則的背景是代數運算．也即向量法則的確定的依據是現實，復數法則的確定是依據是數學本身．復數的運算只要在數學中不形成矛盾即可，平面向量乘法運算需要與實際背景不矛盾．

由于復數運算法則的確定是特殊的等式，這種確定方式難以推廣，如從二元數推廣到更多元數的過程中，遇到了如何確定運算法則的問題．向量對乘法的規定具有一般性，具有更好的可推廣性．復數的運算無需重新定義，因而運算法則的確定類比實數運算法則即可，平面向量運算的定義依賴背景復雜，找不到原型的難以定義運算，如向量的除法運算難以定義．

3.教學思考

教學不僅要使學生獲得知識，還要使學生體會知識產生的過程．關注思維發展的基本方法是以數學知識的發生發展過程為載體，為學生概括活動搭建平臺[3]．概念的形成教學中，教師的引導應該使學生感受到研究對象的產生的自然性．如前所述，向量的形成源于對具有物理現象中的力、位移、速度等既有方向又有大小的量的抽象，保留“大小”和“方向”作為本質屬性，形成向量的概念．因而，從形式上是源于“幾何”的，向量的基本性質的研究也借助幾何直觀進行分析．復數的形成源于代數運算．但是，無論復數還是向量都具有幾何形式和代數形式，教學中要使學生體會這種形式的相同和本質的差異所形成數學對象的特點．

(1)關注概念的形成教學

向量與復數概念的建立都是數學研究中的重大突破，復數使數的范圍擴大到二維，向量使數學研究對象擴充為既有大小又有方向的量．這無論對數學自身的發展還是數學的運用都具有重要的價值，教學中應創設情境，從多角度突出這一價值，使學生體會數學的發展和數學與實際的關系．

教師在這個環節還可以提出一系列問題引導學生思考，如為什么要從功的運算引出向量的數量積運算？物理的功的運算對確定向量的數量積的意義是什么？為什么稱為數量積而不是稱為向量的積？這些問題的思考可以使學生理解，面對單純從數學原有運算中難以確定運算法則時，生活實際或物理世界的已有研究是確定運算法則的重要依據．這不僅是數學運算法則的制定特點，也體現了數學與現實之間的關系特點，為學生理解數學、認識數學奠定基礎．

與此同時，在形成定義過程中充分認識數學研究問題的方法特點.數學研究的起點是定義，如何定義反映了對研究對象本質屬性的認識．向量的屬性是有大小和方向的量，復數是二維數，這是從紛繁復雜的問題中抽象出的本質屬性，由此形成定義．教學中，對定義的形成方式充分展示，促進學生理解定義在數學研究中的起點作用和數學定義的方式，從而體會數學研究問題方法的特點．

(2)突顯數學研究中一般化的價值

華羅庚曾經說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非．復數用“形”描述，使研究感受到了“存在”，向量用形表示，反映方向的特點．“數”與“形”相比，具有更一般的特點，無論是“向量”還是“復數”，只有借助代數和空間想象才能得到推廣和發展．

無論代數還是幾何，在數學研究中，需要不斷地將問題一般化，才能通過解決新的問題推動數學的發展．

數學中存在大量相互聯系的研究對象，在教學中教師應善于引導學生分析和類比，深化學生對知識的理解，形成數學知識的網絡，這對于提升學生的思維能力和解決問題的能力具有重要的意義．

[1]劉詠梅．影響數學觀的中學向量概念教學[J]．數學教育學報，2009,18(4)：9-12．

[2]菲利克斯·克萊因著，舒湘琴，陳義章，楊欽樑譯．高觀點下的初等數學[M]．復旦大學出版社，2008:56．

[3]章建躍．理解數學 理解學生 理解教學[J]．中國數學教育(高中版)，2010.96(12)：3-7．

*本文是江西省協同創新項目《江西省中小學教師數學學科課堂教學評價量表的制定》的部分成果．