小學數學建模教學中的幾種建模形式

陳日福

數學建模是學生對實際問題進行數學化、結構化的過程。根據不同的學習內容以及學生已有的不同的知識基礎，數學模型的建立存在不同的形式。筆者在教學實踐過程中將建模教學的形式總結為“創模”“借模”和“借創結合”三種。本文以長方體、圓柱和圓錐的體積計算為例闡述在數學建模教學中的一些具體做法。

1. 創模

數學教材是數學模型的載體，數學教學過程可以說是數學模型的創建過程。從建構主義的學習觀點看，數學建模過程就是學生對數學模型的意義建構過程，教師一定要盡量創造條件讓學生親身體驗這個過程，不能因為貪方便、怕耗時或怕完成不了教學任務而由教師的講解代替了學生對數學模型的意義建構過程。數學建模活動既可以是學生個體自主的，也可以是小組合作的，甚至是班級互動的；既可以課內模擬的，也可以是課外實踐的。學生在深刻的體驗中，發現事物的本質結構和內容規律，從而建立自己能理解的、會靈活應用的數學模型。下面以長方體的體積計算教學來簡要闡述數學模型的創建過程。

長方體的體積計算是學生學習物體體積計算的起始，是最基礎也是最簡單的體積計算模型，學生深刻建立長方體的體積計算數學模型，是今后學習柱體、錐體、球體的體積計算數學模型的關鍵。因此，教學時教師要通過合理的現實情境引起學生學習體積計算數學模型的內在需要，通過實物學具的具體操作、多媒體動畫模擬演示等學習方式，引導學生探究長方體的體積與長、寬、高三者乘積的關系，形象生動地建立長方體的體積計算數學模型：長方體的體積=長×寬×高，或者長方體的體積=底面積×高。同時從柱體體積計算的系統性角度考慮，引導學生得出長方體更具代表性的體積計算數學模型：長方體的體積=底面積×高，為學習圓柱的體積計算數學模型做好知識準備。

2. 借模

“借模”是筆者在進行數學建模教學研究過程中相對于“創模”提出的，也就是在數學建模教學過程中，有些數學模型不需要學生進行原始創建，可直接從學生已有認知領域中的借用自己已經熟悉的數學模型，并進行適當的概念轉換即可建立新的數學模型，而這種新舊的數學模型之間沒有本質的差別。比如圓柱的體積計算數學模型就可引用長方體、正方體的體積計算數學模型：底面積×高，在此基礎上進行建模教學則效果更好。教學時，首先引導復習長方體和正方體的體積計算方法都可以用底面積s乘以高h來計算，也即V=sh。接著引導學生通過小組學習活動，仿照圓轉化為長方形來創建圓的面積計算數學模型的經驗把圓柱轉化為長方體，從而建立了圓柱體積計算數學模型，讓學生在“借模”過程中發現柱體體積計算方法的高度統一：體積=底面積×高。

這樣不僅可以提高課堂教學效率，避免學習活動的重復，又可讓學生增強對同類數學知識的系統性，做到融會貫通。與長方體的體積計算模型相比，圓柱體積計算模型的建立重在遷移和類推，而不是原始創建，這種數學模型的建立過程筆者稱之為“借模”。

3. 借創結合

圓錐和長方體、正方體、圓柱等幾種幾何體不同，圓錐不是柱體而是錐體，但其共通之處都有底面積和高，在其體積計算數學模型也存在共同點。因此，圓錐體積計算的數學模型的建立可以通過“借創結合”的方式完成。即是先借用柱體體積計算數學模型“底面積×高”計算與圓錐等底等高的圓柱體積，再通過等底等高的圓錐與圓柱的體積關系求出圓錐的體積。其建模過程如下：

第一，小組討論，探索得出“圓錐的體積和長方體、正方體、圓柱等柱體的體積都是由底面積和高來決定”的結論，為“借模”打好知識基礎。

第二，引導學生通過類比，在分析長方體、正方體、圓柱等柱體的體積計算數學模型，猜測圓錐的體積計算數學模型（體積計算公式），使學生逐步清晰圓錐與底面積和高有關，但又不能直接用底面積和高相乘計算得出。再通過類比三角形面積計算數學模型的建立方式（三角形面積是它等底等高平行四邊形面積的一半），猜測圓錐的體積與它等底等高的圓柱體積的關系，提出圓錐體積可能的計算方法。

第三，在猜測的基礎上，學生通過小組合作進行操作體驗，驗證猜想：等底等高的圓錐與圓柱的體積關系，建立圓錐的體積計算模型。

上面的第一、第二點可以說建立圓錐的體積計算模型的“借模”部分，第三點則是在“借模”基礎上的“創模”。通過“借”“創”結合，完成圓錐了的體積計算模型的建立過程。