請重視課本的經典題

胡明鋒

數學中考復習，時間緊，任務重，我們要努力提高學生的學習效率。教師要先多做題目，從數學題庫中選擇好題，我們要在“精”字上下功夫。教師要目的要明確，針對性強，精選題目。我們的數學課本中有許多經典的好題目，各地每年的中考試題都有不少題目是課本例題或習題的改造題。教師要重視數學課本的經典題目，以課本例題或習題為原型，進行適當的變化、探索，要精講精練，讓學生更好地掌握一類題型，真正提高學生的數學解題能力，提高學生學習的效率。數學教材的例題和習題非常重要，要充分用好教材中的例題和習題，注意條件、結論的變式。我們要重視課本的經典題。下面以人教版教材八年級上冊第69頁第14題為例。

題目：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF =90°，且EF交正方形的外角的平分線CF于點F。求證AE=EF。

分析：證明線段相等，常見的思路是利用三角形全等或等角對等邊。學生易想到證明三角形全等，進而引導學生構造全等三角形。

證明：取AB的中點M，連接EM；

∵∠AEF=90°

∴∠CEF+∠AEB=90°

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAE+∠AEB=90°，AB=BC

∴∠CEF=∠BAE

∵E是BC的中點，M是AB的中點

∴BM=BE=AM=CE

∴∠BME=∠BEM=45°

∵CF是正方形外角平分線

∴∠DCF=45°

∴∠AME=∠ECF=135°，又∠CEF= ∠BAE，AM=EC

∴△AGE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF

評注：本題考查了正方形的性質、三角形全等的判定和性質。

下面以兩道中考題和一道練習題為例說明它是一道好題目。

例題1：（2012年青海市中考第27 題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F。請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題。

（1）探究1：小強看到圖后，很快發現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試著去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：

證明：如上圖，取AB的中點M，連接EM。

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵點E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=135°

∴∠AME=∠ECF

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：小強繼續探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論。

圖2

（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由。

圖3

（2）證明：如圖4在線段AB上截取一點AM=CE，連接ME。

圖4

同（1）易證△AEM≌△EFC （ASA）

∴AE=EF。

（3）證明：如圖5，延長BA至點M，使AM=CE，連接ME。

圖5

同（1）易證∠M=∠ECF=45°，∠MAE=∠CEF，可證明△AEM≌△EFC（ASA），從而得到AE=EF。

評注：本題是源于課本的中考題，它考查了正方形的性質、三角形全等的判定和性質。（1）題是課本的題目，（2）、（3）題是（1）題的延伸，條件發生了變化，結論沒有變，要啟發學生多思考，尋求正確的解法。通過這道題更好的掌握課本的習題。

數學許多題目與三角板結合，將∠AEF=90°改為直角三角板，進一步探索，如例題2，一道不錯的習題。

例題2：如圖四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點。直角三角尺的一條直角邊經過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F。

（1）如圖，當點E在AB邊的中點位置時：

①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數量關系是_____；

②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數量關系是_____；

③請證明你的上述兩猜想；

（2）如圖，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想并證明此時DE與EF有怎樣的數量關系。

分析：此題與例題1的（1）、（2）類似。

例題2：（2016年內蒙古通遼市第21題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F。求證：AE=EF。

分析：先取AB的中點H，連接EH，根據∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根據E是BC的中點，H是AB的中點，得出BH=BE，AH=CE，最后根據CF是∠DCG的角平分線，得出∠AHE=∠ECF=135°，從而證出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF。

分析解答過程：

易證∠1=∠2，∠AHE=∠ECF

∴△AHE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF。

評注：本題是源于課本的中考題，它考查了正方形的性質、三角形全等的判定和性質。課本中的經典題懂了，這一道中考就易得解答了。

數學課本中有許多經典的好題，我們要善于發現它，好好研究它，備好每一節課，有利于學生更好地掌握知識。尤其是中考總復習時，更要注重高效。請重視課本的經典題，教師必須吃透課本上的例題和習題，全面、系統地掌握基礎知識和基本方法，以不變應萬變。選擇一些針對性極強的題目進行強化訓練，教師應有意識地對一些可以改編的問題進行變式訓練、題組訓練，讓中考復習更高效。我們要站在學生的地位，努力做好自己的本職工作。我們要堅持以課本為最基本的資料，就是我們常說的“以本為本”，減輕學生的學習負擔，提高教學質量。

（作者單位：福建省龍巖市永定區第二初級中學）