關于“圓化法”的探究

盧山

摘要：在與橢圓有關的問題中，我們常常苦與計算，巨大的工程量讓我們在相關難題前望而生畏，止步不前。于是在此，我們將去探究“圓化法”，憑依著這種新式方法，我們或許就能繞開復雜的運算，自己命題的核心。

關鍵詞：圓化法；運算；探究

下面，我們將先介紹這種方法。

一、“圓化法”的介紹

（1）“圓化法”即將橢圓投影到不同的平面上，使其形成一個圓。在此，我們將把原題目在橢圓上的復雜運算轉化到圓上，運用圓的特殊性質來幫助我們解答題目。

轉化過程，原方程

轉換，建立新坐標系

使

（2）“圓化法”的性質

構造特殊斜率

即當在橢圓平面內兩條直線斜率積為時，經“圓化”后兩線相互垂直。

構造新直角

設在圓上 即建立新坐標系設

使

即投影出的在圓上，故圓上直徑兩端點與連線所成角為直角.

二、例題講解

例1：如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線與橢圓相交于兩點，是橢圓上異于的任意兩點，且直線相較于，直線相交于點。

（1）求的值。（易解得）

（2）求證：直線的斜率為定值，證明：以下可分兩種情況在軸異側，即如圖1

建立新坐標系，

即如圖2

轉化后：

如前證性質

即為的垂心

則

又∵，

在軸同側類似，略。

分析：對于橢圓的某些類型題目，“圓化法”有奇效。如上例1，若照圖1運用解析幾何作法，運算量巨大。而運用“圓化法”將能把其轉化為平面幾何問題，省去運算步驟。

例2，面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別是，以

總結：“圓化法”主要涉及橢圓中面積與斜率的求解。我們可以用上述性質、、圓的性質來進行思考。換一種角度往往會讓我們領略到常規方法所少見的簡易利索，以上問題即通過映射達成這一捷徑。故不妨解題時換一種角度去解答，或可在高考大綱范圍內悟得新法。

參考文獻：

[1]任子文.簡介“圓化法”[J]課程教育研究：學法教法研究，2015（26）