判別式的簡便解法及其延伸應用

陳宥伊

摘要：眾所周知，當我們求解與圓錐曲線相關的題目時，常需要求解判別式，而聯立方程中又有一個或多個參數，故而判別式的求解較為復雜。因此筆者在此介紹一種判別式的簡易解法，并擬用接下來的例題講述此方法。

關鍵詞：判別式；求解；延伸應用

例1，已知與相交于兩點，試求聯立后的判別式。

解析，聯立得到聯立方程 ，化簡后得，再根據判別式的一般解法，可得

評注 通過此題，我們可以驚奇的發現，而其中的即為聯立方程中的二次項系數，即為聯立時一次函數截距的平方。因此便推出判別式的簡易求法，當然在使用該方法時，也有兩點注意事項，第一，橢圓聯立時需要消去分母。即將化為。第二，當不互質時不可化簡，約分。例如僅可化為，不可化為

在推導出判別式的簡易算法后，便可對其加以應用，下面是幾個應用實例

1.橢圓的面積最大值問題

例2，已知，兩點是橢圓上的動點，求的最大值。

解析 設的解析式為，則聯立，得到聯立方程

化簡后可得，故而因此可以將表示為，而到的距離，所以面積即可表示為，在使用均值不等式，即當時，

評注 利用判別式的簡便算法竟成功推出橢圓中特殊三角形的最大值等于（在時）有了這一結論，就可以“秒殺”出部分題目。

例3.（2014年濰坊二模）橢圓的短軸長為2，點為上頂點，圓，將橢圓的長軸三等分，直線與橢圓交于兩點

（I）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；

并求出該三解形面積的最大值.

（1）易得

（2）證明過程略

當時，即

易知

評注 利用推論可以輕易求解此題，注意前提條件是，若無法滿足此條件，則不可使用此推論，而應用普通方法求解。

2、橢圓的面積定值問題

例4：已知橢圓，橢圓上的兩動點滿足，證明的面積為定值，并求出該定值。

解析 設直線解析式為，則聯立，得到聯立方程

化簡得

所以可以得到，因此可以將表示為

可以將由到的距離，最終表示出面積

評注：其實由此題我們可以發現即為，那么此時的面積即為最大值為，只要滿足或，就為的最大值。

3、橢圓中的軌跡問題

（上接第147頁）

例5：已知橢圓，動點，作切橢圓于兩點，，求的運動軌跡。

解析 設過的直線解析式為，

聯立，得到聯立方程：

，

則判別式，

，即為的兩個根，

因為所以而所以解得軌跡

評注 利用判別式方程，找到斜率之間的關系，最終求得軌跡。

綜上所述，熟練掌握判別式的簡易求法，不僅可以幫助學生在考試中節約大量時間，還可以再多類題型中加以應用，使其更易求解。

鞏固練習，已知橢圓，若線段是曲線的一條動弦，且，求坐標原點到動弦距離的最大值。

參考答案：

參考文獻：

[1]趙福民.判別式法的應用.數學學習與研究[J]，2013，（20）

[2]王海波.判別式法在解析幾何中的應用[J]中學生數理化：教與學，2011，（4）