三角函數在解題中的應用研究

余升璟++郭玲

摘 要：三角函數是重要的數學公式之一。它的綜合運用主要是，簡化數學運算和溝通形和數之間的關系。本文主要闡述了三角函數在中學數學解題中的應用，在解中學代數或幾何問題時對其進行三角代換，再結合三角函數的定義、定理、性質等進行解題，用三角函數解題不僅可以化繁為簡，還可以啟發學生的思維，開拓學生的解題思路，從而提高學生分析問題解決問題的能力。-------

關鍵詞：三角函數；三角代換；三角函數線

文中進一步研究三角函數在中學解題中的應用，特別是其它數學問題中的應用，探究其在解題中作為“工具”的功能。

一、三角函數在求解代數問題中的應用。

三角函數在代數問題中的應用就是把代數式轉換成三角表達式，變代數問題為三角問題去求解，這就是三角代換法解代數問題，運用這個方法，不但能使某些代數題的解法化難為易，化繁為簡，而且能幫助我們溝通數學中不同學科之間的知識和方法，提高分析問題和解決問題的能力。

用三角代換法解代數問題的關鍵是設法選擇合適的三角函數進行代換，由于三角代換是用三角函數去代換代數中的變數所以選擇三角函數時，首先應從題中變數的允許值去考慮，再從解題的需要通過分析選擇合適的三角函數進行代換。在進行三角代換后再根據所求問題采取對應的三角函數的性質進行求解。

一般來說，形如 或 可用 、 或 、 進行代換；形如 或 可用 、 或 、 進行代換；形如 可用 或 進行代換；形如 可用 或 進行代換等等。也可以根據其結構特征用三角函數公式進行代換：比如形如 因與 的結構相似可以用 進行代換； 形如 與 的結構相似可以用 進行代換； 再結合代換后三角函數的定義、性質、定理對題進行求解。

二、三角函數在求解幾何問題中的應用。

三角法解幾何題，就是將幾何問題轉化為三角函數問題，運用三角學的知識來完成幾何命題證明或及方法。

某些平面幾何題，線段與線段，角與角，線段與角的關系比較復雜，單純采用幾何的知識進行證明解答，有時不易找到證明解答0的途徑，如改用三角法來證，不僅證明過程簡捷，而且證明思路也比較自然，易于達到證題。

（一）解三角形

1.判定三角形的形狀

判斷三角形的形狀，推理時要注意三點：（1）利用正弦或余弦定理，把已知恒等式中的變化為角，再利用三角公式加以證明；或把角化為變，再用代數公式加以證明；（2）判斷的完整性。如△ABC中，若sin2A=sin2B則A=B，或A+B=90°，可得△ABC為等腰三角形或直角三角形；（3）一般情況下，判斷三角形的條件是充要的，因此可以用逆推的方法；

（二）解三角形

解三角形是用三角函數研究幾何圖形的基礎，在解題過程中應注意三點。

（1）掌握三角形中非基元素（如三角形的內切圓半徑，外接圓半徑，三角形的面積）

（2）已知三角形中的三個元素（其中至少有一條邊），就可以求出其他元素，如果在解題過程中，多設一個中間變量，就多用一個三角形，從而多列出一個方程；

（3）在解立體幾何或解析幾何等問題時，必須充分運用幾何圖形的性質。

（三）結合解析法研究幾何圖形

在用解析法研究幾何圖形時，利用解三角形的方法，可以減少解題的運算量；利用含有三角函數式的極坐標方程，有利于求曲線的軌跡和研究圓錐的共同屬性；利用含參數角的參數方程，便于建立幾何量間的函數解析式。

三、求幾何量的最大值和最小值

在解最大值，最小值問題時采取的步驟是：先設變量（如選擇參數角），再根據圖形的特征建立目標函數，然后求函數的最大（小）。因為 都有界，所以可適當變換，將解析幾何最值問題轉化為三角函數的最值問題，以求得最值，如若 ，則函數 有最大值 ，最小值 解題的關鍵是，靈活地選擇參數，運用解析法或解三角形方法，建立函數的解析式。

例1設過圓 上的一點A（ ）的直線與圓交于另一點P

（ ），試求 的最大值與最小值，又當 取最大值和最小值時，P點位置如何？

解 如圖示，設AP的傾斜角為 ，連接OP，令 ，則 .圓的參數方程 （ 為參數），則

）= .

當 時， P點坐標（ ）.當 時，（ ） P點坐標 .

四、三角函數線在解題中的應用

三角函數線是三角函數的幾何形式，它的功能就是使角的三角函數值通過有向線段直觀地表示出來，使抽象的函數變得具體，便于在動態中對三角函數進行研究和應用，用它來處理三角函數中的某些問題，可得到明快簡捷的解答。同時又可以加強代數，三角，幾何間的聯系。

結論

本文主要探討三角函數的應用，它不僅用于函數中，而且在不等式，解析幾何等都有著重要的作用。利用三角函數的思想解題可以使問題變得簡單，達到意想不到的效果。 如在解決代數問題時，適當的應用三角代換不僅可以化繁為簡，還可以啟發學生的思維，開拓學生的接替思路，提高學生的分析問題和解決問題的能力，在選擇利用三角換元時，要從函數問題中字母的允許范圍來考慮選擇合適的三角公式，使已知條件與所求的結論通過“三角代換”建立恰當的聯進行溝通轉化。

參考文獻：

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