初中數學教學總結與反思

王晶晶

在初中數學教學的探索之路上，我已摸爬滾打六年。雖然與經驗豐富的老教師相比，時間并不算長，但在工作中，我也收獲了很多。現與大家分享兩個具體案例，一個是教學中方法的總結，一個是真實課堂后的反思。

一、方法總結——握手問題

記得剛開始初一的數學教學時，我們常常見到這樣的問題：“一次派對共有10人參加，規定每兩個人之間要握一次手，問所有人總共要握多少次手？”

這個問題，我把它稱為“握手問題”。它是這樣解決的：每個學生都假設我自己是這十個人中的一個（記為1），那么我就要和剩下的9個人（記為10-1）握手，共握手9次（記為（10-1）次）。我握了9次，自然每個人都是握了9次，共10個人，所以共10×9次。但這里出現了一個問題：甲和乙兩個人握了一次手，而計算時甲和乙都計算了這同一次握手，因此每一次握手都被重復計算。所以，最后的結果應該是（10×9）÷2=45次，更詳細的算式為[ 10×（10-1）]÷2=45次。

根據上面的分析，假設派對共有n個人參加，類似的可以分析出共握手n·（n-1）/2次。

按照這樣的方法求解，每個同學可以設身處地的將自己放在情境中，自然就好求解了。

后來在學習幾何問題時，見到了這樣的問題：

如圖，線段AB上隨機分布了3個點，問這個圖形中共有幾條線段？

有的同學用數的辦法解決，但當點的數量較多時，數起來容易出錯。想一想，我們還能怎么解決呢？其實，它也可以看成是“握手問題”。將這里的五個點看做是五個人，每兩個點構成一條線段看成是每兩個人握一次手，那問共有幾條線段就相當于問5個人共握幾次手。顯然，我們可以算出（5×4）÷2=10條。

還有類似的問題：如圖，在角O內部引出3條射線，圖中共有幾個角？

這個問題也可以用“握手”原理解決：將每條射線看做一個人，每兩條射線組成一個角看成是每兩個人握一次手，那問有幾個角就是在問5個人總共握了幾次手，也可以很快算出共有（5×4）÷2=10個角。

這樣的問題還很多，都可以看做是“握手”原理的直接應用，這里就不一一列舉了。但在廣闊的數學知識中，還有一些問題可以變化的運用“握手”原理來解決，下面的例子就是。

問題：一個n邊形共有幾條對角線？

對角線的定義是不相鄰頂點的連線，如圖，以五邊形為例分析。首先，點A出發的對角線有2條。這個2可以怎么分析呢？我們可以這么看：五邊形總共5個頂點，一個頂點不與自己相連，不與它左右相鄰的頂點相連（與相鄰頂點的連線叫做邊，而非對角線），那就與剩下的（5-3）個點相連，也就是連起來2條對角線了。點A出發的有兩條，其他頂點也是，總共有5個頂點，所以共有5×（5-3）條對角線。但每條對角線在兩個頂點處被重復計算了一次，所以結果應該是[ 5×（5-3）]÷2=5條。

剛剛的分析是類似于握手問題的思路的，那我們趁勝追擊，想一想該如何計算n邊形的對角線條數。我們可以這樣想：把一個頂點看做一個人，這個問題就變成了下面的情景：n個人參加派對，他們圍桌做了一圈，每個人和不相鄰的人握手，問共握多少次手？類似上面的分析，我們可以得出結論n邊形共有對角線n·（n-3）/2條。

二、課堂反思——意外的收獲

在整式部分的教學（華東師大版數學七年級上冊第三章）中，講用字母表示數時，有這樣一道找規律的練習題難住了同學們。

師：請同學們觀察下列算式：

32 -12 = 8 = 8×1

52 -32 = 16 = 8×2

72 -52 = 24 = 8×3

92 -72 = 32 = 8×4

……

并用含n的代數式表示這個規律。

同學們看完題，開始思考。經過獨立思考及小組交流討論，大部分同學都有了答案。于是我請同學們展示他們的結論。

生1：（2n+1）2 -（2n-1）2 = 8n

學生的答案與標準答案是一致的，于是我就想請這個同學講一講他是怎么做的。

就在這時，另一位同學舉起手來：“老師，我有不同的答案。”于是我請他發言。

生2：n2 -（n-2）2 = 4n-4

看到這個式子，第一眼看，就感覺和題意不怎么符合，但我再仔細看，想了想，哦，原來他是這么做的：以第一個冪的底數為n，其它部分找到相應的關系并表示出來，也就是：n2 -（n-2）2 = 8· n-12= 4n-4 。只不過他少寫出關鍵的一步：8·n-12，所以規律體現的不夠明顯。

大部分同學僅僅看著這個式子：n2 -（n-2）2 = 4n-4，等號右邊形式明顯不對，于是就認為是錯誤的。我就引導大家嘗試對n代入幾個奇數計算一下，看看成立不成立。計算之后，同學們發現這個結論也正確。借著這個機會，我完善了第二個解法的形式，并對兩種做法進行了對比。

①式是用n表示了等號右邊的第二個因數，并找到前面的兩個冪的底數與這個數的關系，從而用含有n的式子表示為：2n+1和2n-1。

而②式則將第一個冪的底數作為n，對應的第二個底數為n-2，等號右邊的第二個因數就為8·n-12。比較起來，第一種形式簡潔易懂，但第二種補充完整的話也是正確的。這就說明了數學題目的多樣性，常常可以一題多解。最后我又補充強調了這兩種做法所對應的n的取值范圍分別為正整數及n為大于等于3的奇數。

在數學課堂上，教師的智慧對于學生能力的培養很重要。充滿教師智慧的課堂，是在乎學生感受的課堂。就像上面的例子，我們發揮自己的智慧，抓住學生感興趣的疑問，去探探究竟，而不能僅僅是為了趕課堂的進度，從而抑制學生學習的好奇心。現在，在新課改的背景下，我們的課堂更需要智慧的教學。作為一線教師，我仍要不斷學習，加強自我修煉，爭取使自己成為一名智慧型的優秀教師。