在高中數學教學中滲透數形結合思想的探討

蔣秋櫻　趙繼源　潘裕梅

【摘 要】本文通過分析有關數形結合思想的典型例子，詳細地講解以形助數、以數解形、數形互助的方法，以培養學生的數形結合思想，更好地學好數學。

【關鍵詞】高中數學 數形結合思想 以形助數 以數解形 數形互助

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06B-0085-03

新課標指出：“數學教育要使學生掌握數學的基礎知識、基本技能和基本思想，讓學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界。”從古至今，不同的專家學者對于數形結合思想有不同的理解。本文認為數形結合思想是把數量關系和空間形式結合起來去分析問題、解決問題的指導思想。運用數形結合這一指導思想解決數學問題的基本途徑有三種，分別是以形助數、以數解形、數形互助。可見，數形結合思想是幫助學生解決數學問題的一種重要思想。然而，由于中學教材中沒有明確給出數形結合思想的定義，教師對于如何滲透，滲透到什么程度比較模糊，所以，學生在運用數形結合思想時，會出現畫圖不準確，在數形轉化的過程中出現不等價、邏輯循環錯誤等問題。因此，本文通過分析數形結合思想中以形助數、以數解形和數形互助的例子，并給出一些教學策略，希望對教師教學有所啟發。

一、數形結合思想的例子分析

（一）以形助數

以形助數是數形結合思想中一種常用的方式，它的特點是根據已知量的關系，將代數式子轉化成相應的圖形，再借助圖形的直觀性，去解決代數問題。

〖例1〗求證：

其中 a 與 c，b 與 d 不同時相等。

〖分析〗該題讓我們證明的是一個含有 4 個字母的抽象代數不等式，直接去證明也是可以的，但是，過程比較復雜，需要進行大量的復雜的運算、觀察和轉化，花的時間會比較長，容易出錯。可是，如果從數形結合的角度思考，將這道題目的代數式轉化成幾何圖形，那么就會簡單得多。

該題目的結構特點與兩點之間的距離公式非常相似，所以可以將其放在平面直角坐標系中分析，借助直觀圖形尋找不等關系。不妨設 O（0，0），A（a，b），B（c，d），則，，，如圖 1 所示，此時，借助圖形分三種情況進行分析即可。

情況一：當 O、A、B 三點不共線時，根據三角形兩邊之和大于第三邊，得；

情況二：當 O、A、B 三點共線時，點 A 和點 B 在點 O 異側或者與點O重合，則；

情況三，當 O、A、B 三點共線，點 A 和點 B 在點 O 同側時，則。

圖1 圖2

〖例2〗設等差數列{an}的前 n 項和為 Sn，若 a1<0，S2009=0，求當 時，n 的取值的集合。

〖分析〗此題的已知條件比較有限，如果將 an 和 Sn 用公式展開，涉及的未知數比較多，直接用代數法去求解十分復雜。但是，我們知道等差數列也是函數中比較特殊的一種，所以我們可以考慮用數形結合思想，借助函數圖象來直觀得出n的取值的集合。我們知道，等差數列的通項公式可以看成正整數集上的一次函數，它的求和公式可以看成是正整數集上、常數項為 0 的二次函數，基于這個特點，我們可以將這個代數問題轉化成幾何問題，借助圖象分析。

已知條件 a1<0，S2009=0，所以可以推斷 d>0；根據等差數列的公式可以推斷一次函數的圖象經過第一、三象限，與 y 軸交于負半軸；根據等差數列前 n 項和公式可以推出二次函數開口向上。進一步分析，可以知道 a1=S1，a2010=S2010，并且 S2010>0，即可畫出大致圖象。為了畫圖方便，我們是畫成連續的圖象，如圖 2 所示，但是，值得注意的是，這個函數的圖象實際上是由一些離散的點構成的。當 時，n 的取值的集合為 。

（二）以數解形

以數解形也是數形結合思想中的一種重要方式，它的特點是利用代數方法來解決幾何問題，通常運用的方法是坐標法、向量法等，借助代數法來幫助我們挖掘隱含的幾何信息，從而更容易地解決幾何問題。

〖例3〗（2008年江蘇）在三角形 ABC 中，AB=2，AC= ，求出三角形 ABC 面積的最大值。

〖分析〗此題如果僅僅從幾何角度去分析，構造輔助線，是很難求出三角形 ABC 面積的最大值的。涉及最大值和最小值的問題，可以從代數的角度來輔助分析。此題已知條件的特點是知道了某些線段的長度以及線段之間的關系，所以，在這里可以考慮建立平面直角坐標系，借助坐標法分析。

可以建立如圖 3 所示的坐標系，設 C（x，y），A（-1，0），B（1，0），又 AC=，得，整理得（x-3）2+y2=8，即點 C 在圓上運動，所以，當△ABC 以 AB 為底邊，以圓的半徑為高時，面積最大，。此題的關鍵是借助坐標法分析以后，得出了點 C 的運動軌跡是圓，根據圓的特征就容易得到三角形面積的最大值了。

圖3 圖4

〖例4〗（2016 年大連）設 O 在△ABC 的內部，且，則△ABC 的面積和△AOC 的面積之比為（ ）

A.3 B. C.2 D.

〖分析〗這道題要想求出三角形的面積比，必須知道三角形各線段之間的比例關系，但是，已知條件只是給出了向量之間的關系，這就需要我們借助向量法，通過一定的轉化，將代數條件轉化成需要的幾何條件，從而找出線段之間的比例關系，如圖 4 所示。

設 AC 和 BC 的中點分別為 M 和 N，將整理得即，所以，，這說明 M、O、N三點共線，2ON=OM，因此，，所以 。

（三）數形互助

數形互助的特點是把代數的精確性和幾何的直觀性有機地結合起來，實現由“數”到“形”和由“形”到“數”的相互轉化。

〖例5〗（2013 天津）設函數 f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3，若實數 a，b 滿足 f（a）=0，g（b）=0，則（ ）

A.g（a）<0

C.0

〖分析〗題目要求比較的是有關 a 和 b 的函數值的大小，觀察已知條件，我們發現很難直接通過代數求解，將 a 和 b 直接求出來，所以借助函數圖象來比較實數 a 和 b 的大小關系是最簡單明了和直觀的，這就需要以形助數。

已知條件 f（x）=ex+x-2，g（x）=lnx+x2-3， f（a）=0，g（b）=0，所以 y1=ex 和 y2=-x+2 的交點橫坐標為 a，y3=lnx 和 y4=-x2+3 的交點橫坐標為 b，如圖 5 所示，易知，a

圖5

二、數形結合思想的教學策略

（一）教師應結合直觀圖形幫助學生理解新知

教師在給學生講解新的概念、性質定理、公式時，不是簡單地把知識硬塞給學生，而是借助簡潔、直觀的圖象、圖形來幫助學生理解抽象的數學知識，幫助學生更好地吸收、領悟數學知識和數學思想。

在給學生講解增函數與減函數的定義時，教師可以從學生熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數入手，通過學生熟悉和直觀的圖象來引導學生抓住概念的關鍵點，從而較容易地理解概念本質。另外，教師給學生講解正弦函數與余弦函數的性質時，教師一定要結合正弦圖象和余弦圖象讓學生觀察學習，對比分析，引導學生借助圖象歸納出正弦函數和余弦函數的增區間和減區間，對稱軸等性質，理解記憶性質。教師要教會學生借助圖象進行分析、記憶的方法，就算在學生記憶出錯或者模糊的情況下，也能自己畫圖分析，得出相應的性質。此外，教師在給學生介紹基本不等式時，不僅要從代數的角度來讓學生認識基本不等式，還要讓學生了解基本不等式的幾何背景，學生只有從幾何和代數兩方面來認識基本不等式，才能對基本不等式有一個全面的理解。因此，在教學中，教師要善于借助直觀形象的圖形來幫助學生更容易地理解和記憶新知，把握知識的本質，逐步對數形結合思想有一個更深刻的理解。

（二）教師應幫助學生總結常見的式與形之間互化的典型例子

常見的式與形之間相互轉化的例子有很多，比較典型的是例子有：的幾何意義表示的是某個點 P（x0，y0）到某條直線 Ax+By+C=0 的距離；的幾何意義表示的是 A（x1，y1）和 B（x2，y2）兩點之間的距離；的幾何意義表示的是兩點 A（x1，y1）和 B（x2，y2）之間的斜率。教師不僅要在新課中告訴學生這些公式的幾何意義，還要借助一些典型的題目，如 的最大值、最小值，的最小值等，引導學生感悟數形結合思想，通過不斷地進行針對性的訓練和總結，來進一步提高學生的數形結合能力。

（三）教師應精選習題，借助反思以增強學生數形結合的能力

教師在教學中要有意識地借助習題課來增強學生的數形結合能力。為了滲透數形結合思想，教師要認真挑選和編制典型的題目，先讓學生去獨立思考，尋求答案，目的是讓學生犯錯，學生通過嘗試，出錯以后，再引導學生反思總結，最后通過變式訓練進一步深化和提高。

為了培養學生思維的嚴密性，教師可以給學生做一些易錯題。比如，求方程x2-2x=0 的解的個數。在這道題當中，學生或許會利用數形結合思想，通過畫草圖求出方程的解是兩個，但是，此題的正確答案是三個，當 x<0 時，有一個解；當 x>0 時，有兩個解。在學生出現錯誤時，教師可以引導學生進行反思總結，遇到這類交點個數的問題時，一定要小心謹慎，注意圖象的完整性。再比如，已知 a，b，m 為正實數，且 a

總之，對于高中生而言，掌握數形結合思想是十分必要的，它對于提高學生的數學思維能力具有極其重要的作用。因此，教師需要用心挖掘，在教學中反復滲透。

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[5]胡玉靜.數形結合思想在高中數學教學中的應用與分析[D].信陽：信陽師范學院，2015

【作者簡介】蔣秋櫻（1994— ），女，廣西南寧人，廣西師范學院，碩士，研究方向：學科教學（數學）；趙繼源，男，廣西南寧人，廣西師范學院，教授，博士，研究生導師，研究方向：學科數學；潘裕梅，女，廣西欽州人，廣西師范學院，碩士，研究方向：學科教學（數學）。

（責編 盧建龍）