財經類院校《概率論》課程中的案例教學法

趙潔

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特 010070）

財經類院校《概率論》課程中的案例教學法

趙潔

（內蒙古財經大學統計與數學學院，呼和浩特 010070）

案例教學法在教學實踐環節中把生活中的實際問題作為案例組織教學材料,通過分析案例,讓學生參與討論并提出解決問題的基本方法和途徑,這樣能充分調動學生的主觀能動性，達到教學目的。針對案例教學法在課程中的應用,結合教學實踐與理論思考,給出常用的幾個具體案例,把抽象的概率知識與生動有趣的案例結合起來,培養學生的學習興趣以及分析解決問題的能力。

概率論；案例教學法

0 引言

近年來,隨著運籌學、博弈論等相關理論在社會中的廣泛應用,統計學、多元統計分析理論在各專業領域的普及,《概率論》[1,2]作為隨機數學中的重要基礎課程,是一門研究隨機現象客觀規律的學科.由于隨機現象的普遍性決定了該學科應用的廣泛性,在各個行業部門,包括工業、農業、醫學、科技、國防、金融、經濟、管理等領域得到廣泛應用。因此,它的學習方法不同于學生之前所學習的高等數學、線性代數等其他數學課程。通過這門課程的學習,學生要學會用隨機性思維去分析和解決問題。但是,大多數學生在學習這門課程時常常感覺到概念抽象,方法難以掌握.著名科學家愛因斯坦說過“興趣是最好的老師”,這就是在強調興趣的重要性,興趣能夠提供最直接的學習動力,也是學習新知識的開端是學習動機中最現實、最活躍和最實際的因素,激發學習興趣也是教學中激發學生學習的一種策略。《概率論》是一門實用性很強的學科,有很好的直觀背景,如果能夠充分激發學生的學習興趣,讓學生積極主動地去學習這門課程,將會達到事半功倍的效果。教學案例是真實而又典型且含有問題的事件。簡單地說，一個教學案例就是一個包含有疑難問題的實際情境的描述，是一個教學實踐過程中的故事,描述的是教學過程中“意料之外,情理之中的事”。通過案例教學法,可以讓學生生動形象地了解概念所表達的含義,更好地理解定理的思路、例子的實際意義,在理解后能夠讓學生有豁然開朗的感覺.所以在講解概念和公式時,需要舉出貼切的例子,做到深入淺出、恰到好處。

1 條件概率與乘法公式——抽簽公平嗎？

例1：假設5名同學想去看演唱會,但只有一張門票,大家商量用抽簽的方法決定由哪名同學去看演唱會,5名同學依次抽取,考慮：抽取到演唱會門票的機會與抽簽順序有關嗎？

解：設Ai(i =1,2,3,4,5)表示第i名同學抽到演唱會門票。

則：第一名抽簽的同學抽中演唱會門票的概率為P(A1)=。

依此類推,得到每名同學抽中演唱會門票的概率P(Ai)=。

因此,抽簽不分先后,抽簽的先后順序并不影響抽取的機會,我們在抽簽時,不必爭先恐后,也不必畏縮不前。

2 事件的獨立性——根筷子容易折,一捆筷子抱成團

例2[3]：假設一根筷子能夠被折斷的概率為p,求n只相同的筷子同時被折斷的概率。

解:每只筷子能否被折斷是相互獨立的,則n只相同的筷子同時被折斷的概率為：

p×p×…×p=pn

特別地,當 p=0.75時,n只相同的筷子同時被折斷的概率見表1：

表1

通過上表可以看出,折斷一根筷子是輕而易舉的,筷子數量越多時,一捆筷子被折斷的概率越小,當n=25時,被折斷的概率只有0.0008。

說明了合作是一種力量,無論在哪個領域,無論從事什么職業,要想順利完成一項工作,都離不開與他人的合作,每個人的能力都是有限的,知識也是有局限的,只有通過合作的方式,才能順利完成。

3 數字特征——正態分布的期望和方差

例3：某人去火車站乘火車,有兩條路可以走,第一條路程較短,但交通擁擠,所需時間X～N(4 0,100)；第二條路程較長,但以外堵塞較少,所需時間Y～N(5 0,16)。

求:（1）若動身時離開車時間有60分鐘,應該走哪條路？

（2）若動身時離開車時間有45分鐘,應該走哪條路？

解:（1）若動身時離開車時間有60分鐘,應該走哪條路？

若選擇第一條路：

若選擇第一條路：

根據分布函數的性質：Φ(2 .5)>Φ(2),若動身時離開車時間有60分鐘,應該選擇第二條路。

（2）若動身時離開車時間有45分鐘,應該走哪條路？

若選擇第一條路：

因此,若動身時離開車時間有45分鐘,應該選擇第一條路。

這與生活中的經驗是相一致的,若時間緊迫,則應該選擇路程較短,但交通擁擠的第一條路；若時間寬裕,則應該選擇路程較長但以外堵塞較少的第二條路。

從概率的意義來看,數學期望反映了取值的加權平均,方差反映的是一組數據與其平均值——數學期望的偏離程度.第一條路所需時間X～N( ) 40,100,即若選擇第一條路,平均所用時間為40分鐘,一般用時為(40-10,40+10)之間；第二條路Y～N(5 0,16),即若選擇第二條路,平均所用時間為50分鐘,一般用時為(50-4,50+4)之間.因此,若只有60分鐘,則應該選擇第二條路,若只有45分鐘,則應該選擇第一條路。

4 概率推理——“撿芹菜”與“娶媳婦”

在日常生活中經常會遇到許多不確定的信息,即有概率性質的信息,若據以推理,就是概率推理。例如：陰天不一定意味著下雨,肚子痛不一定是吃壞了肚子。

例4：在網上流傳一個段子：今天走在路上,看地上有捆芹菜,撿還是不撿？仔細一想,有芹菜就要買肉,買了肉就要有廚房,廚房有了,那就必須要有個媳婦兒來做,有個媳婦兒就肯定有丈母娘,你要想娶她姑娘,她就必須開條件了,要房、要錢、要車,仔細想了想,趕緊把芹菜扔了,現在房價跌這么厲害,肯定是開發商故意扔的,這太嚇人了。試用概率的思想分析合理性。

解:這道例題的分析并不合理。

因為有了芹菜,不一定要買肉；買了肉,不一定要有廚房；有了廚房,不一定要有媳婦兒；有了媳婦兒和丈母娘,丈母娘也不一定會開條件；開條件也不一定是要房、要錢、要車。

假設每件事發生與否是等可能的,即：

5 全概率公式與貝葉斯公式——狼來了

例6：伊索寓言“孩子與狼”講的是一個小孩每天到山上放羊,山里有狼出沒,第一天他在山上喊：“狼來了！狼來了！”山下的村民聞聲便去打狼,可到了山上,發現狼沒有來；第二天仍是如此；第三天,狼真的來了,可無論小孩怎么喊叫,也沒有人來救他,因為前兩次他說了謊話,人們不再相信他了。試用貝葉斯公式分析這個寓言中村民的心理活動。

解:先做一些假設。首先假設村民們不認識這個小孩,沒有先入為主的印象,他說謊話（記為A1）和說真話（記為A2）的概率相同,即設：

另外,由于小孩說謊話時,并不知道狼會不會來,因此再假設：說謊話喊狼來了（記為B）時,狼來的概率為1/3,說真話喊狼來了時,狼來的概率為3/4,即設：

當村民第一次上山打狼,發現狼沒有來（記為Bˉ）時,村民們對說謊話小孩的認識反映在條件概率P()上,根據上述假設,利用貝葉斯公式可以算得：

在此基礎上,村民們第二次上山打狼,仍沒有看見狼,這時村民們再一次調整對這個小孩的認識,即再一次計算條件概率P(),即：

這表明,村民們經過兩次上當,對這個小孩說謊話的概率從0.5上升到0.8767,即村民們認為這個小孩說的十句話中有近九句話在說謊,這個小孩給村民們留下這種印象,在村民們聽到第三次呼叫時怎么會再上山打狼呢？

6 結語

概率論作為研究隨機現象的統計規律性的學科,與其他數學基礎課明顯不同,它的知識來源于生活的實際問題,在生活和社會實踐中的應用比比皆是,并有其深刻的實際背景,在工科、管理學科等專業領域都有廣泛的應用,比如生日問題、彩票的發行及購買問題、質量檢測控制問題、交通事故問題、工廠庫存問題、組合證券投資決策問題、保險公司贏利問題、報童問題等.因此在課堂教學中適當引入相關的案例,會使得上課更加生動有趣,不同于常規數學課程的舉例一定會引起學生的好奇心,從而激發學生對概率論課程學習的極大興趣。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2010.

[2]茆詩松，周紀薌.概率論與數理統計（第三版）[M].北京:中國統計出版社，2007.

[3]王瓊.諺語中的概率論[J].西藏大學學報（自然科學版）[J],2009，24（2）:106-108.

Case Teaching Method for Probability Theory Course Teaching in Finance and Economics Colleges

ZHAO Jie

（School of Statistics and Mathematical,Inner Mongolia University of Finance and Economics,Hohhot 010070)

Case teaching method in the teaching practice uses the practical problems of life as the cases of teaching materials,makes students partici?pate in the discussion,and puts forward the basic methods and ways to solve the problem by analyzing the cases,then fully mobilize the ini?tiative of the students and achieve teaching objectives.For the application of case teaching method in the course of probability theory,com?bines with teaching practice and theoretical thinking,gives several particular cases,and combines abstract probabilistic knowledge with a lively and interesting case to develop students'interest in learning and ability to analyze and solve problems.

趙潔（1984-），女，內蒙古包頭人，碩士研究生，在讀博士，講師，研究方向為概率論及經濟統計

2017-03-23

2017-05-25

1007-1423（2017）16-0043-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2017.16.011

Probability Theory;Case Teaching Method