守住數學素養的質把握課堂練習的度

高麗

【摘要】課堂練習是學生在教師的指導下，依靠自覺的控制和矯正，反復地完成一定量的習題，借以鞏固、復習所學知識，形成技能、技巧，發展智力、體力的課堂活動行為.而數學素養包含數學知識和技能、數學意識和思維、數學態度和價值觀三個方面，所以，課堂練習安排得好自然會有助于數學素養的提高.

【關鍵詞】課堂練習；數學素養；教材例題

俗話說：“老師靠度，學生靠悟.”數學課堂練習是師生互動的重要環節，教師要細心準備、審題，把握好題量度、難易度、綜合度、階梯度、時間長度.優秀的課堂練習必當蘊含優秀的教學理念、有效的課堂效率和新穎的形式.而相對來說，適量適度是要狠下功夫的，具體做法有：

一、改編教材例題，把階梯搭出來——以“直線與圓的位置關系”為例

教材例1：求直線4x+3y=40和圓x2+y2=100的公共點坐標，并判斷它們的位置關系.教材例2：自點A（-1，4）作圓（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.教材例3：求直線x-3y+23=0被圓x2+y2=4截得的弦長.

三個例題一層一層遞進，從代數方法到幾何方法，自然地使學生體會數形結合、轉化化歸等數學思想.但是例1一個題目的訓練對于學生來說有點偏少，一方面，并不能訓練學生對例題掌握的熟練度，另一方面，對于判斷直線與圓位置關系的第二種常規幾何方法即利用圓心到直線的距離與半徑進行比較沒有強調，因此，將例1進行擴充.例2和例3單獨練習，學生只是思考了一個個點，不能把問題串起來，要在深度和廣度上進行拓展，因此，將例2作為一個變式題源進行拓展，并把例3（求直線被圓截得的弦長）融入例2的變式中，增強了問題的連貫性.改編如下：

練習1：判斷下列各直線l與圓C的位置關系：

（1）l：4x+3y=0，C：x2+y2=36；

（2）l：y=-x+1，C：x2+y2=25；

（3）l：4x-3y-8=0，C：x2+y2+2y=0；

（4）l：x-y-5=0，C：x2+y2-2x+4y+4=0.

練習2：自點A（-1，4）作圓（x-2）2+（y-3）2=1的切線l，求切線l的方程.

變式一：若點A為（1，5）呢？

變式二：自點A（-1，4）發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓（x-2）2+（y-3）2=1相切，求光線l所在直線的方程.

變式三：在變式二中，若反射光線所在直線被圓（x-2）2+（y-3）2=1截得的弦長為2515，求光線l所在直線的方程.

對于本題，點A在圓外，應該有兩條切線，在教材中，不論利用哪種解法，都強調說明了當l⊥x軸時的直線與圓不相切，接著再求出的結果是兩條切線的斜率都存在.在變式一中，點A（1，5）也在圓外，當l⊥x軸時的直線為x=1與圓相切，接下來再利用兩種解法去解，得到的切線只有一條，為3x+4y-23=0.可見，如果不去考慮斜率不存在的情況，就會出現漏解，通過實例使學生更加明確為什么要進行分析討論，確保完善性.變式二對直線l進行了變化，增加了對稱的元素，這時可以作點A（-1，4）關于x軸的對稱點（-1，-4）轉化為求過點（-1，-4）的切線方程，但需要回過來求光線l的方程，因此，可以把圓對稱，而把圓對稱的過程只需要把圓心對稱，即（2，-3），半徑不變，求過A（-1，4）與對稱后的圓相切的切線方程即可，馬上把題目提高了一個層次，并且在變化的基礎上增加點訓練量.變式三也就是把教材的例3進行了融合.

評析：對教材例題作適當變式處理成為課堂練習，既達到了及時鞏固的目的，又增強了問題之間的連貫性，使教學過程過渡自然，層層深入.

二、先易后難排序，把知識點鞏固住——以“輔助角公式”為例

在講解輔助角公式后，安排練習：請把下列各式化為y=Asin（α+φ）（A>0）的形式.

（1）y=22sinα+22cosα；

（2）y=32sinα-12cosα；

（3）y=sinα-3cosα；

（4）y=sinα+cosα；

（5）y=3sinα+4cosα；

（6）y=2sinα-3cosα；

（7）y=asinα+bcosα（a，b都不0）.

這個練習的要求非常明確，在我們已經學習過的兩角和與差的基礎上，把y=asinα+bcosα（a，b都不0）化為y=Asin（α+φ）（A>0）的形式，得到輔助角公式，關鍵是如何找到A和φ角.（1）（2）中的數字是比較特殊的，同學們看到22，32，12就會想到特殊角π4，π6，這個φ很容易找到，逆向運用兩角和與差的正弦公式，從而得到結論.

（3）（4）在（1）（2）的基礎上，引導同學們往特殊角靠攏，（3）中提取一個2即可，（4）中提取一個2即可，這個φ也能找到，逆向運用兩角和與差的正弦公式，從而得到結論.

（5）中部分學生會出現思維困惑，引導學生分析（3）（4）中的A，φ，而因為3，4，5是常見的勾股數，同學們可以理解應提取5，其中的cosα=35，sinα=45，即

y=3sinα+4cosα=535sinα+45cosα=5sin（α+φ）（其中tanφ=43）.

（6）中雖然不存在勾股數，但在學生已經對三角函數定義理解的基礎上，也就自然能理解提取22+32即13，從而得到y=2sinα-3cosα=13213sinα-313cosα=13sin（α-φ）tanφ=32.

在上面的練習的一步步鋪墊下，輔助角公式就成了順理成章的結論，同學們就能自然地理解A和φ的含義，從而得到

y=asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）（其中tanφ=ba）.

評析：這道練習不僅培養了學生逆向思維的能力，也滲透了從特殊到一般的數學思想，成功地通過一個個臺階，把學生的思維帶到了知識的最高點.

三、窮盡變式類型，把規律找出來——以“解分式不等式”為例

練習：解分式不等式x+2x-1<0.

變式一：x+2x-1≤0；

變式二：x+2x-1<2；

變式三：x+2x-1≥2；

變式四：x+5x-1>x-1.

在學習完一元二次不等式后，緊接著就要學習分式不等式的解法，解分式不等式的關鍵是要將其轉化為整式不等式，題目本身很容易理解，只要轉化為（x+2）（x-1）<0即可.

對于變式一，學生很容易認為是（x+2）（x-1）≤0，而忽略分母不能為0的要求，這時要及時引導學生進行思考：x=1成立嗎？那么它的等價條件又是什么呢？從而得到（x+2）（x-1）≤0，x-1≠0.

對于變式二，應指導學生進行移項，得到結論.

對于變式三，是變式1與變式2的綜合，不僅考查了移項，也考差了分母不為0的充要條件.

接下來進行總結：f（x）g（x）>0f（x）·g（x）>0，f（x）g（x）≥0f（x）·g（x）≥0，g（x）≠0.

對于變式四，在變式二的基礎上，學生很快就知道要移項，通分，轉化為整式不等式，但在這里增加了高次不等式的元素，為下面學習高次不等式埋下伏筆，起到承上啟下的作用，也對分式不等式進行了擴充.

評析：通過變式，對分式不等式有了全面的認識.

四、騰出足夠時間，解透一類問題——以“解絕對值不等式”為例

練習：解絕對值不等式：x2-|x|-6<0.這道題目學生一上手就會想到分類討論：

解法1：當x≥0時，原不等式化為x2-x-6<0，解得-2

這樣做是不是有點煩瑣？有沒有其他的辦法？引導學生將x2轉化為|x|2，得到了以下解法：

解法2：將原不等式轉化為|x|2-|x|-6<0，解得-2<|x|<3，因為|x|≥0，所以即為解不等式|x|<3，得到原不等式的解集為（-3，3）.

這時有同學又提出了新的思路，說為什么不畫圖像呢？

解法3：畫出函數y=x2-|x|-6的圖像，由圖像得到原不等式的解集為（-3，3）.

評析：這道題目解法1是最常規的思路，但是在解這道題目時明顯比較煩瑣，而第2種解法直接把x2轉化為|x|2，只需解一個一元二次不等式后，就轉化為一個簡單的絕對值不等式，第3種解法是有創造性的，利用了數形結合的思想，對這個解法要大力鼓勵，在畫圖像時要引導學生利用分段函數的方法來畫圖像，也可以是利用f（x）與f（|x|）圖像的關系來畫.通過多種解法，把學生的思路打開，充分培養學生的思維靈活性.本題設計的主要特點是，通過簡單的一題帶領學生悟出解題規律，消除學生的壓力感，并培養深入思考的習慣.整個解析過程用時二十分鐘，在注意力集中的時效之內，讓學生得到了愉快的數學體驗.