關系式an=Sn—Sn—1的應用

劉仁道

教材中有這樣一道數列題：在數列{an}中，a1=1，an+1=3Sn（n≥1），求證a2，a3，…，an是等比數列.我們可以先給出這道題的解法，然后再分析an與Sn的關系，指出在解題時需要注意的地方.

一、數列題的解法

解法一由an+1=3Sn（n≥1），∴an=3Sn-1（n≥2）.

兩式相減an+1-an=3（Sn-Sn-1）=3an（n≥2），

化為an+1an=4（n≥2），n從2取值，a3a2=4，a4a3=4，…，

而a2a1=3≠4，

所以從第二項起，a2，a3，…，an是等比數列.

解法二可知an+1=Sn+1-Sn（n≥1），

代入原式有Sn+1-Sn=3SnSn+1=4Sn，

∴{Sn}是公比為4，首項為1的等比數列，

Sn=4n-1（n≥1）代入原式，

∴an+1=3·4n-1（n≥1），n從1取值a2=3，a3=12，a4=48，…，而a2a1=3≠4，所以從第二項起，a2，a3，…，an是等比數列.

其實對于初學者來說理解上述解法有些地方還是有困難的，我們可以從an與Sn之間的關系來思考.

二、分析an與Sn之間的關系

把a1+a2+…+an叫作數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn=a1+a2+…+an，由此可見，已知數列{an}的通項an可以求出數列的前n項和Sn，反之，若已知數列{an}的前n項和Sn，能不能求出通項公式an=f（n）呢？

因為Sn=a1+a2+…+an（n≥1），（1）

Sn-1=a1+a2+…+an-1（n≥2），（2）

在這兩個關系式的共同定義域n≥2的條件下，

（1）-（2）得an=Sn-Sn-1（n≥2），

當n=1時，由（1）得a1=S1，即an=S1（n=1），Sn-Sn-1（n≥2）.

這是數列通項an與前n項和Sn之間的關系式，值得注意的是an=Sn-Sn-1不是對一切自然數n都成立，而局限于對n≥2的一切自然數恒成立，因為當n=1時，S1-S0無意義.因此，已知數列{an}的前n項和Sn求an時，應重視分類討論的應用.這里首先有a1=S1，若計算出的an中當n=1時值與S1相同，則可以合并為一個通項公式，否則應該為兩段構成，不少人易把a1=S1忽略，造成錯誤.

三、常見的兩種解題技巧

（一）消去Sn轉化為an

例1已知各項都為正數的數列{an}中，Sn是數列{an}的前n項和，對任意n≥1，有Sn=2a2n+an-1，求數列{an}的通項公式.

解由Sn=2a2n+an-1，

∴2Sn-1=2a2n-1+an-1-1（n≥2），

兩式相減：2an=2（a2n-a2n-1）+an-an-1，

化為（an+an-1）（2an-2an-1-1）=0，

∴an-an-1=12（n≥2）.

又a1=1，∴an=1+12（n-1）=12n+12.

（二）消去an轉化為Sn

例2在數列{an}中，a1=1，當n≥2，數列an，Sn，Sn-12成等比數列，求{an}的通項公式.

解當n≥2時，an=Sn-Sn-1，

又S2n=anSn-12，∴S2n=（Sn-Sn-1）Sn-12，

即有1Sn-1Sn-1=2，a1=1，

∴1S1=1，1Sn是以1為首項2為公比的等差數列，

∴1Sn=2n-1，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2（2n-1）（3-2n），

綜上有an=1（n=1），2（2n-1）（3-2n）（n≥2）.

例3數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=12，Sn=n2an-n（n-1）（n≥1），求Sn的通項公式.

解當n≥2時，Sn=n2（Sn-Sn-1）-n（n-1），

即（n2-1）Sn-n2Sn-1=n（n-1），

∴n+1nSn-nn-1Sn-1=1，

∴n+1nSn是首項為1，公差為1的等差數列，

∴n+1nSn=1+（n-1）=n，即Sn=n2n+1.

教師在平常教學中應善于思考，樂于分析，將一個例題引出多種解法，讓學生掌握其中的解題技巧.在歷年的高考數列題中，這樣類型的試題時常出現，我們只有吃透教材，把握了解題技巧，才能得心應手.