復數的運算技巧

山東省壽光現代中學 任彥旭

復數的運算技巧

山東省壽光現代中學 任彥旭

復數的運算種類雖多，但各種運算方式間有聯系，最本質的運算方式就是代數形式的運算。多樣性的運算使得我們研究復數問題時有多種可考慮的途徑，以便從中選擇較好的方式，運用常用的結論或者利用數學思想方法來解題，可以簡化運算。

一、整體角度巧轉化

例1 已知z=2－i，則z6－3z5+z4+5z3+2=________。

分析：如果直接把z=2－i代入，運算起來比較繁雜，而根據題目條件，通過整體角度來轉化，方法巧妙，運算快捷。

解析：由于z=2－i，則有（z－2）2=（－i）2=－1，即z2－4z+5=0，

所以z6－3z5+z4+5z3+2=（z2－4z+5）（z4+z3）+2=2，故填2。

點評：從整體角度思考，巧妙利用z=2－i轉化為（z－2）2=（－i）2=1，即z2－4z+5=0，再通過因式分解來處理即可快捷求解。運算時抓住整體，可以高屋建瓴。

二、常見公式妙應用

點評：抓住常見公式有時是解決此類復數問題的關鍵，常見的復數運算公式有：（1）i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，等。運算時利用常見公式，可以簡化過程，提升速度。

三、分類討論巧解決

分析：通過復數關系式的轉化，化簡為in·[（1＋i）＋（－1）n·（1－i）]＝2，結合n的奇偶數取值情況分類討論，進而求解最小正整數n。

點評：在解決復數問題中，涉及復數的分類、參數的取值等相關問題時，往往通過分類討論，結合復數運算來分析與求解。運算時結合分類討論，理清思路，拓展思維。

四、幾何意義妙轉化

分析：通過復數幾何意義的轉化，把求解對應復數的模的問題轉化為解決平面圖形的相關線段的長度問題。

點評：從復數的幾何意義入手來轉化，把代數運算問題幾何化，結合復數的幾何意義，利用直觀平面幾何圖形來分析與處理。運算時利用復數的幾何意義，可以化代數問題為幾何問題，通過幾何直觀來處理。

復數運算中，關鍵是抓住復數的加、減、乘、除、乘方等運算，結合題目條件，利用整體角度、常見公式、分類討論、幾何意義等運算技巧加以綜合與處理，達到快捷求解、正確運算的目的。