中職單招數學易錯題的成因及其對策研究

江蘇省常熟高新園中等專業學校 林志江

中職單招數學易錯題的成因及其對策研究

江蘇省常熟高新園中等專業學校 林志江

數學是一門學習難度很大的學科。中職單招數學考試，對學生的知識理解與運用能力的要求很高，學生經常在解題中出現各種錯誤。文章探討了中職單招數學中易錯題的成因，并研究了減少錯誤出現的策略。

中職；單招；數學；易錯題

在中職單招考試中，數學是非常重要的一門考試科目，同時難度也很大，學生必須對知識有比較全面的掌握和深刻的了解，才能獲得比較優異的成績。在中職單招數學考試中，學生常常會有較多的易錯題。因此，我們在教學中找出易錯題的出錯原因并研究解決辦法有著積極意義。

一、中職單招數學易錯題的成因

第一，學生對題目中相關概念的理解不夠深刻

在中職單招數學考試中，很多題目會考查學生對相關概念的掌握情況，這些題目一般以選擇題或者填空題的形式出現。例如，“平面中有一動點P，另有兩定點A和B，點P在運動過程中，到A、B兩點的距離之和保持不變，那么，點P的運動軌跡是”學生在解答這道題時，大部分都會給出“橢圓”的答案。題目中給出的條件為動點到兩定點的距離之和為定值，確實符合橢圓的概念，然而除此之外，橢圓還有一個必要的判定條件，即點到兩定點的距離之和大于兩定點之間的距離，在本題中，橢圓成立的條件應是但題目中并沒有給出這一條件，因此，可能存在2a=2c的情況，此時動點P的運動軌跡為線段AB。

第二，學生在應用相關公式、性質和定理進行解題時，忽略了應用條件

在函數相關的題目中，有些題目需要學生判斷兩個函數是否等價，例如“f(x)=x2+1和f(x)=x2+(x-1)0”，部分同學會覺得這兩個函數實質是相同的，在解題過程中將兩者通用，然而任意實數的0次冪等于1的定理，需要排除0，即(x-1)0在x=1時沒有意義，因此這兩個函數并不等價，前者的定義域為R，后者的定義域為如果通用，就可能導致解題出錯。又如，“已知與共線，與共線，問與的位置關系。”很多學生根據向量共線的相關性質，會得出與共線的答案，然而卻忽略了一點，零向量與任意向量都共線，如果是零向量，則與的位置關系無法判斷。

第三，學生在解題中，錯誤地應用邏輯推理的條件

例如，“已知函數f(x)=ax2+bx，1≤f(-1)≤2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范圍。”部分學生在解題過程中會給出如下答案：將x=-1，x=1以及x=-2代入函數解析式中可得f(-1)=a+b，f(1)=a+b， f(-2)=4a+2b，進而推出1≤a-b≤2，2≤a+b≤4,得出≤a≤3，0≤b≤5，代入f(-2)=4a+2b中，最終計算出-4≤f(-2)≤12。這一解題過程看似沒有問題，但實際是錯誤地應用了不等式的同向可加性，其充分條件并不能與充分必要條件混為一談。正確的解題過程應該是：把a-b和a+b分別作為一個整體進行解題，用a-b和a+b來表示4a-2b，可以設兩個系數m和n，得到4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（n-m）b，聯立可得m+n=4，n-m=-2，即m=3，n=1。因此f(-2)=3f(-1)+f(1)，5≤f(-2)≤10。在這類題目的解題過程中，必須重視邏輯推理的充分條件、必要條件以及充分必要條件。

第四，錯誤地應用類比法

在數學解題和知識學習中，類比法是一種常用的數學方法，在很多地方都能發揮作用，但在部分情況下類比法并不適用，需要學生根據題目條件做出判斷。例如，等差數列具有如下性質，對于等差數列｛an｝，其各項組合得到的新的數列a1+a2,a3+a4，a5+a6,……，a2n-1+a2n同樣是等差數列。部分同學在解題過程中，會將等差數列的這一性質類比推導至等比數列，然而等比數列在公比為-1時，這一推廣并不成立。又如，在圓柱相關的解題中，學生常常需要用到性質“同時過圓柱兩條母線的截面中，軸截面的面積最大”，而當進行圓錐最大截面積的計算時，部分學生會錯誤地應用類比法，將圓柱的性質用在圓錐的解題中，最終得出錯誤的答案。實際上，過圓錐兩條母線的截面的面積的與圓錐的頂角大小有關。

第五，學生沒有找出題中的隱藏條件

在中職單招數學考試中，一些難度較大的題目，其部分條件并不是直接給出的，需要學生推導發掘，如果學生沒有找出這些隱藏條件，就無法進行正確解題。例如，在三角函數相關的題目中，“已知sin2β-sinα=1，求sinα-cos2β的取值范圍。”對于這道題的求解，可以根據題中給出的條件sin2β-sinα=1得出sinα=sin2β-1，根據三角函數的相關轉化關系，可對sinα-cos2β進行變式，得出sinαcos2β=sinα-1+sin2β=sinα-1+（sinα+1）=2sinα。在這里，一些大意的學生會直接得出答案sinα-cos2β的取值范圍為[-2，2]，他們忽略了題中還給出了一個隱藏的條件，對sinα的取值作出了限定，即sinα=sin2β-1的取值范圍為[-1，0]，因此正確的答案應該為[-2，0]。

二、中職單招數學易錯題的解決對策

1.應用針對性的解決方法

學生在解題過程中，出現錯誤的原因可以分為三個方面，一是對相關知識概念的理解不夠到位，二是解題時思維不夠嚴謹，三是邏輯推理能力不足，找不到解題思路。

第一，對于知識概念理解不到位的情況，教師可以采取強化教學的措施。數學知識非常抽象，很多概念的理解難度較大，而且存在很多定義類似的概念，學生在學習的過程中很容易混淆概念，難以正確地認識概念。對此，教師在教學過程中首先要重視概念，在課堂上花費足夠的時間進行概念講解，幫助學生打牢知識基礎；其次，教師要引導學生養成良好的學習習慣，課前做好預習，對相關概念有初步的理解，課上將自己的理解與教師的講解相對比，進一步加深對概念的理解，課下認真完成相關作業，通過習題練習強化對知識的理解。例如，在講解函數的奇偶性的概念時，教師可以為學生安排這樣的習題：“判斷以下函數的奇偶性：（1）f(x)=x2+1；x∈[-2，2]；（2）f(x)=x2+1，x∈[-1，1];（3）f(x)=x2+(x-1)0。”學生通過這些習題的練習，就會對函數奇偶性概念中的“定義域內”、“任意”、“都有”這些關鍵詞有更深的印象與理解，從而加強學生對函數奇偶性概念的掌握。最后，教師要帶領學生做好總結。在一部分知識教授完畢后，教師要帶領學生進行總結，將各個概念和知識點聯系起來，讓學生通過對比分析和歸類，明確概念之間的關系，構成系統的知識框架。

第三，對于學生推理能力的培養。數學是一門抽象性和邏輯性很強的學科，學生必須具備足夠的推理能力，才能夠順利地打開解題思路。由于一直以來題海戰術的大量應用，部分學生通過背題的方式進行學習，這種方式能夠在短時間內讓學生掌握常規題目的解題方法，然而一旦題型出現較大的變化，學生就很容易找不到思路，難以正確地解題。這實質是因為背題的學習方式，讓學生忽略了對自身推理能力的培養與提高。對此，教師可以為學生安排更多新穎的題目，在教學過程中，根據班級內學生整體的學習情況，針對學生的薄弱點編制特定的題目，讓學生在解題時難以套用固定的解題套路，促使學生主動思考，充分調用自身所學知識，積極探究，鍛煉學生的邏輯推理能力。

2.應用有效的習題教學方法

在數學教學中，錯題本是一種很好的習題教學方法，教師可以應用錯題本，幫助學生減少解題中的錯誤。教師首先需要引導學生養成記錄錯題的習慣，其次要定期查看學生的錯題本，了解學生普遍出錯的題目。應用錯題本進行習題教學，能夠從三方面發揮作用。第一，幫助學生細化知識理解。錯題本中記錄了學生曾經的錯題，學生通過查看錯題，就能回憶起相關的知識和概念。在實際的解題過程中，相關知識和概念會更加清晰和細化，學生能夠更好地理解，明確注意點。第二，幫助學生在學習中舉一反三。學生通過查看各類錯題，能夠對錯題進行綜合分析和對比，從而了解到同一知識在不同題目中的應用，進而舉一反三，明確知識點的各類應用。在實際的考試過程中，即使遇到新穎的題型，學生也能在掌握知識的多樣應用方法的情況下，迅速找出正確的解題思路。第三，幫助學生完善知識系統。學生在學習的過程中，會逐漸豐富和完善自身的數學知識系統，有些知識在學習之后，學生并沒有完全掌握，在實際的解題過程中，就會以錯題的方式體現出來，學生通過記錄錯題，就能不斷發現自身知識系統的漏洞，進而進行完善。

在中職單招考試中，數學占據了非常重要的地位，教師必須做好數學教學工作，提高學生的解題能力。教師一方面要幫助學生總結易錯題出現的原因，另一方面要同時從教師教學和學生學習兩方面入手，應用有效的對策提高學生的數學知識水平，減少錯題的出現。

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