認識點、線、面在函數解題中的關聯
——以“反比例函數圖象與性質（面積專題）”一課為例

江蘇省太倉市沙溪第一中學 龔利強

認識點、線、面在函數解題中的關聯
——以“反比例函數圖象與性質（面積專題）”一課為例

江蘇省太倉市沙溪第一中學 龔利強

點、線、面是幾何學里的概念，是平面空間的基本元素。在函數當中的運用，更是充分地體現出了點、線、面三者之間的關聯作用及數形結合的數學思想。本文以八年級“反比例函數圖象與性質（面積專題）復習課”的課堂教學過程為例，體現點、線、面幾何元素在反比例函數中數與形的結合。

一、數與形的結合

師：同學們知道幾何中平面空間的基本元素有哪些嗎？

學生總結：（1）幾何中的基本元素是：點、線、面；（2）學習立體幾何的時候知道點動成線，線動成面，面動成體。

師：同學們總結得很到位，我們學習反比例函數，它的圖象在平面直角坐標系中是什么？怎么理解反比例函數圖象的形成？

學生總結：反比例函數的圖象叫雙曲線，可以將滿足反比例函數表達式的數對（x，y）看作平面直角坐標系中的點，由無數個滿足函數表達式的數對形成的點，在平面直角坐標系中就形成了兩條分布在不同象限里的曲線，我們稱其圖象為雙曲線。

師：總結得很好，了解反比例函數圖象的成因，便于我們對反比例函數的認識從數式深入到圖形分析的平臺上。下面我們先一起看題目。

過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得到的矩形的面積為常數|k|。這是系數k的幾何意義，明確了k的幾何意義，會給解題帶來許多方便。（請學生思考圖二中直角三角形的面積和系數k的關系）

師生總結歸納出k的幾何意義。推導幾何意義的原理由點坐標表示線段，再由線段表示出面積，充分體現了數與形的結合。反比例函數是歷年中考數學中的一個重要考點章節，且多以大題的形式出現，常常結合三角形、四邊形等相關知識綜合考查，所以應該引起廣大師生的重視。反比例函數中k的幾何意義也是其中一塊很重要的知識，常在中考選擇題、計算大題中進行考查，這類考題大多考點簡單但方法靈活，目的在于考查學生的數學圖形思維。掌握反比例函數中k的幾何意義這一知識要點，靈活利用這一知識點解決數學問題，并熟悉與反比例函數中k的幾何意義的常見考查方式和解題思路。

題目分析：初中數學教學的過程中常會遇到有關求平面圖形面積的問題，對不規則的幾何圖形，常會用割、補、拼、湊使它變成可以計算出面積的規則圖形，在一些證明題中，我們也常會通過“割”、“補”來尋求解題思路，“割”、“補”法是幾何中的重要思想方法，在面積和體積的教學中都有著廣泛的應用。

補全圖案方法：經過添加輔助線把原圖形變為規則圖形，使問題變得易解。此題利用直線與雙曲線的兩個交點A、B補全成規則圖案：直角三角形，進而利用面積和差求出△AOB的面積。

圖形分割方法：將不規則圖形利用坐標軸分割成幾個規則圖形再求面積。

在數學解題中靈活運用“割”、“補”方法不僅有利于提高學生分析問題、解決問題的能力，還將有助于對學生進行數學化歸思想的滲透。

如下圖，分割成△AOC和△BOC，分別以OC作底邊，過A作過AE⊥x軸，過B作BF⊥x軸，則△AOC和△BOC的面積之和即為所要求的面積。

利用坐標軸分割三角形，這里可以得出一個分割三角形的基本圖形求面積的方法：

點評：求解函數圖象與圖形面積相關問題要由點坐標表示線段，由線段表示面積，突出點、線、面在圖形問題中的關聯。

二、知識遷移：突出點、線、面在解題中的運用如圖，雙曲線上第一象限內動點P，與直線和坐標軸交點圍成的△PCD的面積是否存在最大值與最小值？若存在，請寫出來并說明理由。

此題是動點問題，可以借助幾何畫板直觀地來判斷，點P在第一象限曲線上移動時，△PCD的面積是否存在最大值和最小值。通過點P的移動，讓學生頭腦中形成動圖的空間想象思維。

觀察點P的橫坐標由小變大，△PCD的底邊CD不變，高PH是由大變小，再由小變大，過程中存在P點的一個位置距離CD最近，此時△PCD存在面積的最小值。而P點在整個移動過程中，△PCD的面積沒有最大值。

動點P的坐標決定了△PCD面積的最小值。求△PCD面積的最小值的方法如下：

面：表示面積的關系式為：

函數的面積問題歸根結底是由點到線，由線及面，體現數學知識的聯系性，學習就要將知識融會貫通、靈活運用。注重知識的遷移，利用數形結合引導學生逐步深入思考，充分培養了學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析的數學核心素養。進入初中后，學生的思維將從形象思維逐步過渡到以經驗型為主的抽象思維，進而發展到以理論型為主的抽象思維。在這個過程中，函數內容是發展學生數學核心素養的關鍵。