J2攝動下衛星相對運動解析方程研究*

周 敬 鄭建華 李明濤

1.中國科學院國家空間科學中心, 北京 100190 2.中國科學院大學，北京100190

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J2攝動下衛星相對運動解析方程研究*

周 敬1,2鄭建華1,2李明濤1,2

1.中國科學院國家空間科學中心, 北京 100190 2.中國科學院大學，北京100190

在圓/近圓參考軌道下，依據含有J2攝動的衛星相對運動動力學模型，提出將變化幅度較小的地心距及軌道傾角平均化，求解J2攝動下衛星相對運動動力學模型，獲得了適用于任意初始條件的、以相對位置和相對速度為變量的、解析形式的J2攝動衛星相對運動方程。仿真結果表明，與經典CW方程相比，J2攝動下衛星相對運動精度提升明顯，證明了所提方法的合理性和準確性。 關鍵詞 相對運動；CW方程；J2攝動；解析方程

衛星間的相對運動是國際航天動力學與控制領域的研究熱點之一，同時也是衛星編隊飛行、交會對接和空間攻防等任務的動力學基礎。因此，研究衛星間的相對運動具有重要意義。

目前國內外研究衛星相對運動主要采用2種方法：1)基于相對位置和相對速度描述的動力學法[1-3]；2)基于相對軌道根數或其變化形式描述的運動學法[4]。在動力學方法中最簡單、最基本的就是CW方程，但其前提假設是理想球體、圓參考軌道和衛星間相對距離足夠近，限制了其進一步應用。J2攝動是近地航天器最主要的攝動力，因此研究高精度衛星相對運動首先要考慮的就是J2攝動。目前關于J2攝動下衛星相對運動的研究多采用運動學方法，如參考文獻[5-12]，也有參考文獻[13]提出可以直接采用數值積分的方法分析J2攝動下的衛星相對運動，雖然此方法計算精度較高，但在理論分析方面效果稍差，計算復雜，不利于星上自主導航或地面的實時處理。理論上，J2攝動下的衛星相對運動動力學模型是一個超越方程，無法通過常規方法獲得解析解。為獲得解析解，張錦繡[6]以初始時刻主從星的平均軌道根數偏差為變量，在一階長期意義下，忽略主從星軌道根數中的短周期項，推導出J2攝動下衛星相對運動的精確解析模型。參考文獻[14-16]通過研究特定的相對運動初始條件，同樣獲得了解析形式的相對運動方程，雖具有一定的局限性，但仍具有啟示意義。

目前國內外關于J2攝動下相對運動方程的研究絕大部分是以軌道根數描述的，此種描述形式雖然精度較高，但非常復雜。也有其他研究方法，參考文獻[17]將J2攝動引起的誤差表達式添加到CW方程解析解上，得到了J2攝動下的相對運動表達式；參考文獻[18-19]利用拉格朗日方程，推導了高精度的J2攝動下相對運動動力學方程。此外，現有的研究成果多數也是以衛星編隊飛行作為研究背景，這就意味著存在航天器等周期這樣的隱含約束條件，但某些航天任務，如交會對接、相對軌道轉移和空間飛越觀測等都不滿足這樣的約束條件。基于此，研究J2攝動下，以相對位置和相對速度為變量的、形式簡單的、無隱含約束條件的相對運動解析方程具有重要研究價值。

本文通過研究J2攝動下的相對運動動力學模型式(3)發現，如果參考衛星的地心距和軌道傾角為常量，則模型可解。通過STK(Satellite Tool Kit)仿真驗證，J2攝動下衛星的地心距和軌道傾角恰好變化幅度較小，可近似為常量。因此提出將地心距和軌道傾角平均化，并作為常量代入到J2攝動相對運動動力學模型中。基于此，J2攝動相對運動動力學模型便由不可解的超越方程變為可解的常微分方程，通過求解得到J2攝動下的相對運動近似解析方程。

1 J2攝動下衛星相對運動動力學模型

衛星間的相對運動描述源自20世紀60年代Clohessy和Wiltshire[20]提出的CW方程。該方程建立在圓/近圓參考軌道、無攝動且衛星之間相對距離較近三點假設之上，可在短時間內對衛星間相對運動進行較高精度的描述。然而，隨著時間積累其誤差逐漸增大。為解決此問題，國內外學者做了很多研究工作以改進CW方程。此外，為滿足橢圓參考軌道衛星相對運動研究的需要，Lawden和Carter等以真近點角或偏近點角為獨立變量，提出了可適用于任意Kepler軌道的、不考慮攝動情況的相對運動解析解[21]。

一般情況下，相對運動模型建立在相對運動坐標系下，相對運動坐標系也稱為RIC坐標系(Radial—In-Track—Cross-Track)，該坐標系以參考衛星質心為坐標原點，以參考衛星的軌道平面作為基本平面，X軸沿參考衛星徑向方向，Z軸沿參考衛星軌道平面法向方向，Y軸滿足右手坐標系。衛星間的相對運動及相對運動坐標系見圖1。

圖1 衛星相對運動及相對運動坐標系

無攝動力下的衛星相對運動動力學方程為：

(1)

(2)

此即為經典的CW方程。SamuelA.Schweighart從上述經典的CW方程出發，考慮地球J2攝動的影響，將J2項攝動加速度添加到相對運動動力學模型里，改進了圓/近圓參考軌道的相對運動動力學方程[22]。在相對運動坐標系下，改進的相對運動動力學方程為：

(3)

其中，各項參數關系如式(4)所示, 更多參數設置可以參考文獻[23]。

(4)

2 J2攝動下衛星相對運動動力學模型求解

Yeh[16]通過研究發現，在改進的動力學模型式(3)下，當初始條件滿足一定關系時可以得到相應的解析解，具體內容可查看參考文獻[16]。雖然該文獻中的衛星相對運動模型可以提供解析形式的運動方程，但是需要研究特定的初始條件，即特定的初始相對位置和相對速度之間的關系，因此不具有普適性。

理論上，J2攝動下的相對運動動力學模型式(3)為超越方程，無法通過常規方法獲得其解析解。研究式(3)發現，如果參考衛星的地心距和軌道傾角為常量，則模型可解。而J2攝動下衛星的地心距和軌道傾角雖然會出現長期項、長周期項和短周期項等變化項，但變化幅度很小，恰好可以近似為常量。以太陽同步軌道為例，衛星地心距和軌道傾角變化趨勢如圖2和3所示，具體變化值見表1。

表1 J2攝動下圓軌道地心距與軌道傾角變化情況

圖2 J2攝動下地心距變化情況

圖3 J2攝動下軌道傾角變化情況

根據表1，為得到J2攝動下相對運動解析形式，可以合理假設變化幅度很小的衛星地心距、軌道傾角為常量，具體值可以取為平均軌道根數：

(5)

根據式(3)可以看出，Z軸相對運動與其他兩軸相對運動是解耦的，因此可以分別研究Z軸相對運動和XY平面相對運動。一般情況下，相對運動在Z軸的分量較小，Z軸相對運動的精度對綜合精度影響很小。此外，在相對運動動力學模型中，Z軸的系數l,q,φ是2顆衛星升交點赤經及其變化率的函數，如式(6)所示，雖然相關文獻[12]給出了相應

的計算公式，但是需要求解平均軌道根數，這偏離了本文避免使用軌道根數的初衷。因此，本文不再簡化Z軸相對運動，而是直接采用CW方程中的Z軸相對運動形式：

z(t)=c′sin(nt+φ)

(6)

其中，

(7)

綜上，J2攝動下XY平面內的相對運動動力學模型可以通過數學處理轉化為：

(8)

其中，

(9)

由此，J2攝動下的相對運動動力學模型便可由不可解的超越方程式(3)轉化為可解的常微分方程式(8)，求解常微分方程式(8)，可得三軸相對運動方程為：

(10)

由于該解析解消除了特定的初始條件限制，可以適用于任意初始條件，因此具有普適性。

3 數值仿真及結果分析

為驗證所提方法的合理性和準確性，本文采用與STK仿真數據、CW方程數據對比驗證的方法。

假設初始時刻2顆衛星形成非等周期相對運動，其軌道根數、軌道根數之差轉化到相對運動坐標系下的位置偏差與速度偏差如表2所示。

表3表示以STK數據為基準，在相同的初始條件下，CW方程仿真數據和J2攝動下解析運動方程仿真數據的精度比較結果。為使仿真結果更具有針對性、統一性和科學性，在STK仿真模型中僅考慮J2攝動，沒有考慮大氣阻力、日月引力等其他攝動。

表2 初始時刻兩衛星軌道根數與相應的位置、速度誤差

表3 CW方程與J2攝動解析方程精度對比(2軌)

圖4 徑向相對運動誤差

圖5 跡向相對運動誤差

圖6 法向相對運動誤差

圖7 綜合相對運動誤差

圖4～7為2顆衛星相對運動在2軌道周期內，以STK仿真數據為基準， CW方程仿真數據和J2攝動解析運動方程仿真數據在徑向、跡向和法向三軸分量以及綜合情況下的相對運動絕對誤差變化曲線。在徑向方向上，J2攝動解析方程相比CW方程精度有提升，但提升幅度較小，見圖4；在跡向方向上，J2攝動解析方程相比CW方程精度明顯提升，見圖5；在法向方向上，J2攝動解析方程相比CW方程精度相同，見圖6。

表3提供了相對運動精度提升的具體數值信息。可以看出，以STK仿真數據為基準，2軌道周期內，CW方程在終點時刻的誤差是150m量級，平均誤差是80m量級，而J2攝動解析方程在終點時刻的誤差是80m量級，平均誤差是40m量級，精度提高約2倍；尤其在跡向方向，CW方程在終點時刻的誤差是130m量級，平均誤差是70m量級，而J2攝動解析方程在終點時刻的誤差是12m量級，平均誤差是20m量級，終點時刻精度提高約10倍，平均精度提高約4倍。

綜上，本文所推導的J2攝動衛星相對運動解析方程相對CW方程精度更高，更具優勢。

4 結論

J2攝動作用下，衛星相對運動動力學模型為超越方程，通過常規方法無法獲得類似CW方程解析形式的相對運動方程。但對于圓/近圓參考軌道，由于J2攝動下地心距及軌道傾角變化很小，可以合理假設為不變量，衛星相對運動動力學方程便由不可解的超越方程轉化為可解的常微分方程。仿真結果表明，在考慮J2攝動下，本文所提方法相比CW方程，相對運動精度提升明顯，尤其在跡向方向，相對運動精度可以提高約4倍。因此本文推導的J2攝動相對運動解析方程具有一定的實際工程應用價值，可以應用于航天器交會對接、衛星編隊飛行等領域。

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Analytical Solutions for Satellite Relative Motion under J2Perturbation

Zhou Jing1,2， Zheng Jianhua1,2， Li Mingtao1,2

1. National Space Science Center, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China 2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China

Satellite’sorbitalelementscancontainsecularandperiodiccomponentsundertheJ2perturbationwhichresultsinthattherelativemotiondynamicsmodelbecometranscendentalequationsandtheanalyticalsolutionscannotbeobtainedthroughconventionalmethods.Underthiscircumstances,thedistancecanbeaveragedamongthesatellite,theearthcenterandtheorbitinclinationsothattherelativemotiondynamicsmodelcanbesolvedandtheanalyticalrelativemotionequationscanbeobtainedunderJ2perturbationforcewhenthereferenceorbitiscircularorellipticalwithverysmalleccentricity.SimulationsresultsshowthattheprecisionofrelativemotioncanbeimprovedgreatlybycomparingwithCWequations.Itdemonstratestheeffectivenessandveracityofthenewmethod.

Relativemotion; CWequations; J2perturbation;Analyticalequation

*國家自然科學基金(11672293)

2016-11-08

周 敬 (1991-)，男，安徽人，碩士研究生，主要研究方向為飛行器動力學、控制與仿真；鄭建華(1966-)，女，河南人，博士，研究員，博士生導師，主要研究方向為飛行器動力學、控制與仿真；李明濤(1982-)，男，河南人，博士，研究員，碩士生導師，主要研究方向為飛行器動力學、控制與仿真。

V412.4

A

1006-3242(2017)02-0044-07