優化變式教學 培育數學素質

何孝賢

（霞浦縣第八中學 福建 寧德 352000）

優化變式教學 培育數學素質

何孝賢

（霞浦縣第八中學 福建 寧德 352000）

變式教學是初中數學課堂培育學科素養的有效途徑，也內在地蘊含著培育數學素養的應有價值。文章結合初中數學教學實際，從數學圖形、試題情境、解題方法和數學思想等方面探討變式教學，分析其對培育數學素質的意義，注重在變式訓練過程中探尋培養數學圖形意識、語言能力、多維思維和科學精神等素質的有益策略，為促進有效課堂教學進行探索和實踐。

初中數學；變式教學；數學素質；策略；應用

探索實施變式教學、培養學生數學素質始終是教師們關注的重要話題。我校教師在教學實踐中也總結出了許多新穎生動的活動形式，對優化變式教學、創新變式訓練、培養學生數學素質等發揮著積極的作用。下文，略談幾點關于如何在初中數學變式教學中促進學生數學素質的有效培養等問題。

一、活導圖形變式，培養數圖意識

圖形是體現現實世界與數學文化交相融合的一種美妙形式。在初中數學課程中，精選圖形案例、利用圖形變式進行有針對的轉化訓練是學生開展數學變式訓練的重要形式。教師引導學生學習了平面圖形（如直線、曲線、多邊形、平面區域等）、空間圖形（如立體、空間區域等）和函數圖形等的性質和特征之后，可以靈活結合一定的典例圖例，合理變換原命題中的已知條件和范圍等，或重新設置圖形探究情境，來指引他們開展變式訓練，深入分析新題境下的題設情況，探求新的解決方法，獲取活動結論，進而有效培養起良好的數學圖形意識。

如，在八年級上冊幾何專題教學中，教師引導學生掌握好了相關圖形基礎知識，認識了常見圖形的特征和規律之后，利用了重置圖形應用環境、數形結合、倒置題設條件等形式，來開展變式教學，可以促進學生更加直觀地了解各種數學圖形的位置關系，深入認識蘊含于其中的知識。如，在“直線位置關系”教學后，教師把探究視角移到了學生身邊，啟發他們：“現在觀察下我們的教室，能不能現場找出一些體現直線平行關系、直線垂直關系的例子啊？”在教師的指引下，很多學生找出了“黑板的對邊、課桌的對邊、地板前后兩條墻角線都是平行關系，而墻角相交的三條線、課桌相鄰的兩條邊都是垂直關系……”在此，教師靈活利用了教室中的熟悉事物來創設新的探究情境，將課堂場景轉化成圖形案例，豐富圖形素材，使學生在親切的學習環境中細致觀察，增強數學圖形意識，提升數學學習能力。

圖1

還有，利用題設中的倒置條件是指引學生進行圖形變式訓練的好方法。如，在九年級（2）班的一節數學“學習展示”課上，科代表劉學志同學帶領大家開始了課前5分鐘的展示活動，他利用PPT把前一節課中老師布置的小組探究學習問題展播出來：“如圖（右截圖），昨天老師在作圖時不小心把圖給弄臟了，只能看見圖中的∠C和邊BC，并且被弄臟的∠B＝∠C，請大家想一想，怎樣才能把圖恢復到原來的樣子呢？大家想一想，能不能利用已學過的等腰三角形判定定理來探討一下呢？”這樣的多媒體情境展示后，學生們踴躍舉起手來，要求上臺演練自己的方法。有的學生利用先測量∠C，然后模畫出∠B，再延長兩角的邊使之相交于A，來補齊三角形；有的學生則先做出邊BC的垂直平分線，與∠C另一邊的延長線交于點A，從而恢復三角形；有的學生用長方形紙片對折的方法……可以看出，在“學習展示”活動中，學生們在創設的“等腰三角形”變式訓練中探得了許多有價值的解法，充分展現了他們愛思考、愛探索的數學品質。

二、巧換試題情境，增強語言能力

巧換試題情境是進行數學變式訓練的又一有效手段。教師通過優設適當的題型，變換原試題中的條件、范圍、背景、設問和結論等，引導學生參與探討數學符號、術語、圖形、定義、法則、公式和性質，開展變式訓練，有利于促進學生在新訓練情境中增進互動交流，學會規范表述、數學抽象和邏輯推理，進而培養起良好的數學語言能力。

變換試題情境，教師應認真分析原題，結合原題的特征，來合理變換原題中的已知條件、適用范圍、背景信息和相關結論等。如，在“一元二次方程根的判別式”一節課中，等學生已學好了一元二次方程的一般形式和根的判別式之后，適時引領他們開展變式訓練：

原題：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，當m取何值時，此方程有實數根？

變式1：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，當m取何值時，此方程有兩個相等的實數根？

變式2：已知x的一元二次方程（m＋1）x2＋2x＋3＝0，若有一根是－1，則m的值是多少？另一根是多少？

學生通過先前的一元一次方程和一元二次方程的學習，對方程的基本形式已經有很好的了解。原題中，教師要求學生能理解并應用一元二次方程根的判別式Δ＝b2－4ac≥0且a≠0來判定方程有無實根，即m≤－2／3且m≠－1，進而逐步加深了對一元一次方程、一元二次方程概念的認識。在變式1中，適當變換了原題條件，使學生進一步明確了方程的二次項系數必須不為0，即m＋1≠0且Δ＝b2－4ac＝0；通過求值、取舍、判別的過程，學生應用了根的判別式，順利地解決了一元二次方程兩個相等的實數根情況。在變式2中，將問題的結論進行變式設計，引導學生巧妙利用代入法，把方程的根－1代入方程，順利求出方程中m＝－2，進而求出另一根x＝3。可見，通過改變題設的條件和結論，引導學生開展變式訓練，能加深學生對數學概念、法則和性質的理解，使他們學會整合學習思路，學會變換思考、推理論證，更加準確地表達數學方法，增強數學語言能力。

三、善借多樣解法，激活多維思維

思維是數學素質的核心和靈魂。在初中數學變式教學實踐中，學生掌握了基本解法之后，教師還應加強解題技能的指導，鼓勵他們積極利用多樣化的解題方法，多維度地激發他們的數學思維，培養良好的思維素質。我們不僅可以通過設計“一題多解”、“一題多變”、“一題多導”等變式題型，來加強學生發散性、求異性思維的訓練，培養思維活性，而且還可以通過設計“多題一法”的變式題型，鍛煉他們的定向思維，指引他們從“多題”中探索、歸納、總結出解題規律，進一步培養數學思維的深刻性。

如，圍繞“一元一次方程的應用”，我們可以聯系和（差）倍分、勞力分配、行程、工程、利潤、儲蓄、比例分配等類型的問題，來設計應用性試題，并通過變式，指導學生開展列方程（組）、解決問題，發展學生思維的靈活性。

原題：一項工作，甲單獨來做要20小時完成，乙單獨來做要12小時完成。請問，兩個人一起合作，要多少小時可以完成？

本題是一個非常典型的工程應用性問題，學生應把握好工作量、工作時間和工作效率三個量，以及三個量之間的換算關系，并進一步理解“甲單獨做20小時完成的工作量”與“乙單獨做12小時完成的工作量”之和就是工作總量，就可以順利得出答案。學生完成解題后，教師把這個“工程安排”類題型進行了變式設計：

變式1：一項工作，甲單獨來做要20小時完成，乙單獨來做要12小時完成。現在，甲先單獨做了4小時，接著乙也加入。請問，兩人一起合作還需要幾小時會完成？

在閥桿密封填料函處必須設計有防細小物料進入填料密封系統的自清潔結構，同時在設計允許的條件下，盡可能增大執行機構的安全系數，解決因少量物料堆積引起的閥門卡澀。

變式2：一項工作，甲單獨來做要20小時完成，乙單獨來做要12小時完成。現在，甲先單獨做了4小時，接著乙也加入。請問，兩人一起合作還要用多少小時完成這項工作的2／3？

變式3：一項工作，甲單獨來做要20小時完成。現在，甲乙兩人合作3小時完成了這項工作的2／5。接著，甲單獨做了4小時，然后乙也加入一起做了2小時后，甲又借故離開了，剩余的工作由乙來單獨完成。請問，共用多少小時來完成這一項工作？

在變式1中，學生可從兩種角度進行變式解答：（1）理解“甲先單獨完成的工作量”與“兩人合作完成的工作量”之和就等于工作總量，先設兩人一起合作，還要x小時完成這項工作，依題意可得：4／20＋（1／20＋1／12）x＝1，得出x＝6；（2）理解“甲共完成的工作量”與“乙完成的工作量”之和就等于工作總量，先設兩人一起合作還要x小時完成這項工作，依題意可得：（4＋x）／20＋x／12＝1，得出x＝6。變式2是在變式一的基礎上適當改變了完成工作總量的條件，學生在此可利用建立方程來解決問題：4／20＋（1／20＋1／12）x＝2／3。在變式3，設計相對復雜了些，學生先要理解這些等量關系：“甲先單獨完成的工作量”、“兩人一起完成的工作量”和“乙單獨完成的工作量”三部分之和就等于工作總量，或“甲共完成的工作量”與“乙共完成的工作量”之和就等于工作總量，然后根據已訓練過的變式練習可以類比得出兩種解法：（1）設共用x小時完成這項工作，依題意可得：4／20＋2（2／5÷3）＋（x－4－2）（2／5÷3－1／20）＝1，得出x＝12.4；（2）設共用x小時完成這項工作，依題意可得：（4＋2）／20＋（x－4）（2／5 ÷3－1／20）＝1得出x＝12.4。

在此，教師利用了“一題多變”變式設計，適當變換了應用題新內容，逐步設置了題設難度，引導學生開展變式訓練，循序漸進地打開了學生思維。學生們在“一題多變”中開展拓展訓練，探尋不同解決方法和技巧，激發了思維靈活性和創新性，提升了多維思維能力。

四、滲透數學思想，激揚科學精神

科學精神是培養數學素質的重要內容。在初中數學變式教學中，教師積極滲透數形結合、分類、方程與函數、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想，有利于引導學生更深入把握數學知識本質，在變式訓練中積極參與思考、分析、運算、推理，提高解題能力，培育起良好的數學科學精神。

原題：如圖2，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標為A（－2，3），B（－3，2），C（－1，1）。若將△ABC向右平移5個單位長度，再向上平移1個單位長度，請畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標。

圖2

變式：如圖3，△ABC中任意一點P（－2，2）經過平移后對應點為P1（3，5），將△ABC做同樣的平移，得到△A1B1C1，請寫出點A1，B1，C1的坐標。

圖3

在變題中，教師先聯系點在坐標系中的符號特征，把平移問題轉化成坐標問題，向右（左）平移m個單位長度，橫坐標則加（減）m；向上（下）平移n個單位長度，縱坐標則加（減）n。這樣，利用變式，運用數學轉化思想，可以有效地提高學生機智變通的思維能力，增進思維的靈活性，培養他們嚴謹的科學求知精神。

此外，分類思想和方程思想在初中數學變式訓練中也受到廣泛應用，在呈現問題條件、分析問題情況、開展分類討論等起到積極的作用。

原題：等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成15和18的兩部分，求等腰三角形的三邊長。

變式1：等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分成12和24的兩部分，求等腰三角形的三邊長。

變式2：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，求三角形的三個內角的度數。

在此變式題中，要注重運用分類思想，區分題設的不同情況進行討論，又要利用三邊關系做好檢驗，并重視方程思想在幾何運算中的運用。所以，教師在變式設計中巧妙滲透數學分類思想，有利于指引學生開展分類討論、互動探究、準確解決問題，培養科學精神。

總之，變式是形，素質為本。教師優化實施變式教學，對學生數學圖形意識、語言能力、多維思維和科學精神等數學素質的培養發揮著積極的作用。我們只有切實重視學生的學習主體性地位，營造豐富的變式學習氛圍，強化數學多樣解法的指導，激發學生的探知欲望，才能有效地指引學生參與課堂、獲取知識、發展素質。

［1］錢懷蓮.初中數學循序漸進地培養學生的數學素養［J］.中學數學，2014年02期.

［2］盧建兵.初中數學教學中變式訓練設計策略［J］.中學數學教學參考，2015年30期.

［3］劉洪群.變式教學在初中數學課堂中的實施［J］.中學數學教學參考，2016年18期.