對一個習題的拓展教學

陳 浩

（西藏民族大學附屬中學 陜西 咸陽 712082）

對一個習題的拓展教學

陳 浩

（西藏民族大學附屬中學 陜西 咸陽 712082）

新課標強調學生的主體能動性，“倡導學生積極主動、勇于探索的學習方式，注重提高學生的數學思維能力”，同時高考也注重對學生數學思維和能力的考察。本文就以“焦點三角形”的教學，談談課本例題的實施與高考的接軌。

習題；高考；點三角形

在《橢圓》學習中，焦點三角形這個知識點是比較重要的。它不僅蘊含了橢圓的定義、離心率，還對后面學習的拋物線、雙曲線等的同類問題具有承上啟下的鋪墊作用。在考查中，常常結合三角形中的相關定理進行考查，靈活性較大，一般屬于中高檔題，需要學生作為重點內容來理解掌握。為此，在教學中本人結合教材習題，嘗試著引導學生對這類問題進行舉一反三的學習，以提高學生的思維和探索能力。

【例1】（新人教版選修2-1，P40練習第3題）已知經過橢圓的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，F1是橢圓的左焦點（見圖1）.

圖1

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長有變化嗎，為什么？

解析：對于問題1，同學們很快利用橢圓的定義解答完畢，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a.所以l＝｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.對于問題2，由問題1可知，△AF1B的周長沒有變化.

為進一步加深對橢圓定義的理解，逐步引導學生認識橢圓的焦點三角形的特征，先讓學生思考例2。

【例2】在例1的橢圓中，如果AF1⊥AF2，求△AF1F2的面積（見圖2）.

圖2

在課堂巡視中，發現學生一般采用兩種方法去做。

解析：方法一：設點A坐標（x，y），通過AF1⊥AF2以及點A在橢圓上求出其坐標，所以

方法二：通過求出｜AF1｜與｜AF2｜的值，得

顯然，無論哪一種方法，計算都比較繁瑣，所以鼓勵學生去尋找一種更簡便的方法，即不分別求出｜AF1｜與｜AF2｜的值，而通過搭建｜AF1｜＋｜AF2｜與｜AF1｜2＋｜AF2｜2的關系式，去求｜AF1｜·｜AF2｜.學生得到提示，很快得出了這個關系式：｜AF1｜2＋｜AF2｜2＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－2｜AF1｜·｜AF2｜（向學生指明，這是橢圓焦點三角形的特征之一），

所以2｜AF1｜·｜AF2｜＝（｜AF1｜＋｜AF2｜）2－（｜AF1｜2＋｜AF2｜2）＝（2a）2－（2c）2＝4b2＝64.

在學生感受到利用橢圓焦點三角形特征解題的優越性之后，趁熱打鐵，引導學生思考例3。

【例3】已知F1、F2為橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓上一點，且∠PF1F2＝105°，∠PF2F1＝15°，則e等于多少（見圖3）？

圖3

學生發現利用求點P或者求｜PF1｜與｜PF2｜是無法解決問題，于是很自然將問題朝橢圓焦點三角形的特征方面思考，可是，同學們還是沒有太大進展。這時，我進一步引導學生從三角形方面入手，讓學生回憶在前面的內容中，我們是如何處理三角形的邊角關系的，又如何將e與已知條件聯系起來呢？學生得到啟發，思路變得越來越清晰了。下面我們來看一下，解答過程。

通過以上三個例題，引導學生歸納關于橢圓的焦點三角形的特征：

特別提醒：（1）解題過程中要注意整體思想的應用，｜PF1｜＋｜PF2｜與｜PF1｜－｜PF2｜可以作為整體相互表示，而不必分別求出｜PF1｜和｜PF2｜。

在學生整理好結論之后，要求學生結合剛才學習的內容，獨立練習例4。

點評：本題考查橢圓性質中焦半徑｜PF2｜范圍的運用和解焦點三角形的基本方法。具有一定的難度。得分的關鍵是利用正弦定理將角化為邊｜PF1｜、｜PF2｜的比值，還有定｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a的及時參與，最后熟記｜PF2｜∈（a－c，a＋c）。

課后思考：（2007年江蘇15）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC頂點A（－4，0）和C（4，0），頂點B在橢圓

在高考題中，橢圓、拋物線、雙曲線都有涉及焦點三角形的題目，在這里我就不一一列舉了。希望通過對以上例題的學習，我們的同學能在做題中靈活運用焦點三角形的性質進行舉一反三，觸類旁通。這樣不僅可以避免大量繁瑣的計算過程，起到優化解題作用，還可以為學生節約寶貴的考試時間。所以，在圓錐曲線的學習中，對于焦點三角形性質的學習的重要性是不言而喻的。