高維非線性隨機微分方程組的指數穩定性

王小芹，常萌萌，秦志芳

（安陽學院數學教研室，河南安陽455000）

高維非線性隨機微分方程組的指數穩定性

王小芹，常萌萌，秦志芳

（安陽學院數學教研室，河南安陽455000）

隨機系統的穩定分析，近年來逐漸受到很多概率論學者與工程技術人員的研究，并取得了重要的研究成果，而前人研究往往以Lyapunov方法為工具，從系統的生成元入手，得到系統穩定性的依據.文章從隨機微分方程組的變換入手，將隨機微分方程組局部的變換為帶隨機項的常微分方程組，然后通過類似于Hurwitz的分析技巧，從而得到系統的指數穩定性判據.

Lyapunov穩定；隨機微分方程組；連續半鞅；It＾o公式；指數穩定性

隨機微分方程是建立在概率論與常微分方程穩定性理論的邊緣上發展起來的，其研究領域是非常廣泛的，其中隨機微分方程的穩定性研究是最為重要的一面［1－2］，無論是對學術理論，還是實際應用方面都非常有意義.

隨機微分方程穩定性的發展，是從1908年，Langevin在研究Brown運動時首次得到一隨機微分方程開始的，到1951年，It＾o建立It＾o型隨機微分方程的理論，為后來學者給出隨機微分方程穩定性的幾種釋義奠定了基礎.直至1994年，毛雪榮全面討論了隨機微分方程和隨機泛函微分方程的指數穩定性，該研究是從系統的生成元入手，以Lyapunov方法為工具，對隨機系統進行研究.

1 預備知識

1.1 微分動力系統

定理1［1］考慮該隨機微分方程

其中的b（x），σ（x）是Rm上的兩個連續函數，如果存在兩個正整數K和K－，滿足

（1）（Lipschitz）對任意的x，y∈Rd，t∈［0，T］，有：

（2）（線性增長條件）對任意的（x，t）∈Rd×［0，T］，有：

則方程dX（t）＝b（X（t），t）dt＋σ（X（t），t）dW（t）存在唯一的一個解X（t），并且X（t）∈M2（［t0，T］，R）.

定理2［3］當且僅當對于任意給定的正定對稱矩陣Q，存在一個正定對稱矩陣P滿足Lyapunov方程，即

那么A就是Hurwitz矩陣，即A的所有特征值都滿足Reλi＜0.此外，如果A是Hurwitz矩陣，那么P就是Lyapunov方程的唯一解.

定理3［3］設x＝0是非線性系統的一個平衡點，其中有連續可微函數f：D→Rn，且D為原點的一個鄰域.設

（1）原點是漸近穩定的，若A的所有特征值都滿足Reλi＜0.

（2）原點是不穩定的，若A至少有一個特征值滿足Reλi＞0.

1.2 鞅、布朗運動和It＾o公式

定義1［2］Ft適應過程X＝Xt，t∈Rt為一維連續半鞅，它具有下面唯一的分解式：

其中X0為F0可測隨機變量，Mt為連續局部鞅，Vt為連續有界變差過程，M0＝V0＝0.定義2［2］連續隨機過程Bt：0#t＜T｛

｝稱為標準布朗運動，如果滿足以下條件：

（1）B0＝0，

（2）Bt是獨立增量，即

0#t1＜t2＜...＜tn＜T，Bt2－Bt1，Bt3－Bt2，...，Btn－Btn－1是相互獨立的，

（3）對任意0#s#t＜T，Bt－Bs服從期望為0，方差為c2t的正態分布，

（4）t0，Bt（ω）是關于t的連續函數.

則It＾o公式又可寫為

1.3 穩定性定義

定義3［3］（指數穩定）如果

那么稱（1）的平凡解是穩定的，否則稱為是不穩定的.

如果存在γ＞0使得

則稱（1）的平凡解是指數穩定的.

2 主要結果及證明

考慮方程（1），其中b（x），σ（x）是Rm上的兩個連續函數，滿足以下條件：

1）b（x），σ（x）是連續可微的；

2）存在常數M＞0，使得b（x）＋σ（x）＜M（1＋x）；

由隨機微分方程的知識可知方程（1）存在唯一解，記方程的解為X（t；x0）.假設

3）0是b（x）和σ（x）的唯一的0點，并且σ（0）不為0.

條件（3）說明x（t）≡0是方程（1）的一個解，稱為平凡解或者平衡點.

首先假設m＞1，d＝1.設A＝（aij）i#n，j#r是一個n×r矩陣，n維向量視為n×1矩陣.對于實數x，約定：

x＊A＝A＊x＝（xaij）i#n，j#r

設A（s）＝（aij（s））i#n，j#r和B（s）＝（bij（s））i#n，j#r分別是n×r和n×l矩陣函數，如果每個aij（s）和bij（s）都是連續半鞅，矩陣

記作〈dA（s），dB（s）〉.不難驗證以下等式成立：

dA（s）B（s）＝［dA（s）］B（s）＋A（s）［dB（s）］＋〈dA（s），dB（s）〉.設A是一個n×n矩陣，W（t）是一個一維布朗運動，令

不難驗證

當A和B可交換時

exp｛（A＋B）W（t）｝＝exp｛BW（t）｝exp｛AW（t）｝.

令A＝σ（0），σ（x）和Ax是光滑C2－等價的，H是σ（x）和A（x）之間的C2－共軛映射.

由C2－共軛的定義，可知

H（x）σ（x）＝AH（x），x∈Oρ（0）

上式兩端求導后可得H（0）A＝AH（0），即矩陣H（0）和A之間是可交換的.

設x0∈Oρ（0），X（t；x0）是方程（1）的解，簡記作X（t）.令

由It＾o公式，知

則

H（x）的逆映射記作G（y），則G（0）＝H－1

令

這樣得到在（0，S）上

由于A與G（0），exp｛－AW（t）｝，H（0）以及exp｛AW（t）｝是可換的，所以（1）可轉化為

令E＝H（0）ΓG（0），那么

這時方程組轉化為它是一個含隨機項的常微分方程組.

定理4 假設b（0）與A是可交換的，如果Γ的所有特征值的實部都是負數，則方程組（1）的平凡解是指數穩定的.

證 令E＝H（0）ΓG（0），那么由于E的特征值的實部全是負的，由定理3，可取m×m正定矩陣P使得

PE＋ETP＝－I.

令V（x）＝xTPx，則由于P為正定矩陣，故有λmin‖Y（t）‖2#V（Y（t））#λmax‖Y（t）‖2，

其中λmin為V（Y（t））特征值的最小值，λmax為V（Y（t））特征值的最大值.

那么有

取ε＞0，使得1－2λ2maxε＞0.

令

則在［0，T］上，有V（Y（t））#e－ctV（Y（0））#λmaxect‖Y（0）‖2.

由于exp｛－AW（t）｝是每個元素都含有－eαiW（t），W（t），cosβiW（t），sinβiW（t）的多項式，故由Brown運動的重對數律知，e－ctexp｛－AW（t）｝是一個有界函數，其界為N.

令τ＝inf ｛t‖Y（t）‖γ｝，取Y（0）＝H（x0），使得‖Y（0）‖＜γ，則‖Y（τ）‖＝γ.從而在［0，τ）上，V（Y（t））#e－ctV（Y（0））.

如果｛t‖Y（t）‖γ｝不空，則λmin‖Y（τ）‖2#V（Y（τ））#e－ctV（Y（0））#e－ctλmax‖Y（0）‖2.從而有γ

3 小結

文中方程組的指數穩定性的判據，僅需要隨機系統系數在平衡點的導數，因此判據更具實用性.還可以進一步討論，什么條件下，方程組（1）的平凡解是不穩定的.

［1］胡進.一類隨機微分方程的穩定性分析［D］.成都：電子科技大學，2006.

［2］謝晶晶.一維隨機微分方程的穩定性［D］.湖北：華中科技大學，2011.

［3］吳小太.幾類隨機微分方程解的存在與穩定性的研究與應用［D］.東華大學，2012.

［4］胡宣達.關于隨機微分方程的不穩定性定理［J］，南京大學學報，1986，22（1）：9－16.

［5］Khalil.非線性系統［M］.北京：電子工業出版社，2005：60－73.

O211.62

A

1671-9476（2017）02-0032-04

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.008

2016-08-15；

2016-11-23

王小芹（1990－），女，河南新鄉人，碩士研究生，主要從事馬氏過程分析研究.