關于正規矩陣的注記

賈 杰，任芳國

（陜西師范大學數學與信息科學院，陜西西安710062）

關于正規矩陣的注記

賈 杰，任芳國＊

（陜西師范大學數學與信息科學院，陜西西安710062）

利用正規矩陣特征值和奇異值的定義，聯系譜范數、Schur引理、極分解、矩陣酉相似對正規矩陣進行了等價刻畫，得到正規矩陣特征值和奇異值存在關系σi＝｜λi｜，i＝1，2，…，n，λ1，λ2，…，λn，σ1，σ2，…，σn分別為A的特征值和奇異值，正規矩陣特征值和它的跡存在關系數學分析及類比思想獲得了正規矩陣唯一分解，推廣并證明了正規矩陣下的內積不等式和范數不等式.

正規矩陣；特征值；跡；范數

正規矩陣是一類特殊的矩陣，是在討論矩陣的酉等價時產生的一類矩陣，在矩陣分析中占據重要的位置.文獻［1］研究了對角矩陣和正規矩陣的性質；文獻［2］給出了可換矩陣的定理.文獻［3］線性代數的應用給出了正規矩陣的相關性質；文獻［4－8］分別研究了奇異值與特征值的內容以及正規矩陣乘積的性質等；在之后的文獻中研究了特征值理論，正規矩陣定理，矩陣與算子的應用等.筆者繼續研究正規矩陣的等價定理，并得到正規矩陣的奇異值是特征值的絕對值，特征值與跡的關系，正規矩陣在范數中的應用以及正規矩陣的分解及分解的唯一性.

1 預備知識

為了敘述方便，對符號約定如下：A＊表示矩陣A的共軛轉置矩陣，AT表示矩陣A的轉置；Mm×n（F）表示數域F上的所有m×n階矩陣的集合；Mn（F）表示數域F上的所有n×n階矩陣的集合；tr（A）是矩陣A的跡，其中A∈Mn，其他未加說明的符號參見文獻［6］.

下面是與本文有關的幾個定義及引理：

定義1［1］設A∈Mn，則存在n階酉矩陣U及對角線元素為A的特征值的上三角矩陣D，使得A＝UDU＊，稱A具有Schur分解.

定義2［2］設A＝（aij）n×n∈Cn×n則｜｜A｜｜2＝，λ1為A＊A的最大特征值.

定義3［5］設A＝（aij）n×n∈Cn×n，若A＊A＝AA＊，則A正規.

定義4［6］設A∈Mn（C），則A＝U｜A｜，其中A是A＊A的平方根或A＝｜A＊｜U，稱為極分解.

引理1［3］設矩陣A∈Mm×n（C），則存在兩個酉矩陣V∈Mm和W∈Mn及矩陣Σ＝［σij］∈Mm，n，

其中σij＝0（i≠j）且σ11σ22…σqq0，其中q＝min｛m，n｝，使得A＝VΣW＊，其中σii，i＝1，2，…，q為A的奇異值，稱A具有奇異值分解.如果A是實的，那么V∈Mm和W∈Mn是實正交陣，Λ＝引理2［4］設A，B，C，D都是n×n階矩陣且｜A｜≠0，AC＝CA，則

引理3［7－8］設A是一個n階矩陣，對任何u，v∈Cn有

2 主要結論及證明

定理1 設A∈Cn×n，A是正規矩陣當且僅當

1）A與對角矩陣酉相似，即存在酉矩陣U∈Cn×n，使U＊AU對角化.

2）A∈Cn×n，A＝U｜A｜，A是正規矩陣當且僅當U與A可換.

3）λ1，λ2，...，λn是A的特征值且｜λ1｜｜λ2｜，…，｜λn｜，則A是正規矩陣當且僅當｜λ1（A）λ2（A）·…·λk（A）｜＝σ1（A）·…·σk（A）， k＝1，2，…，n.對于所有的k都成立.

4）A是正規矩陣當且僅當A的每個特征向量是A＊的一個特征向量.

5）A是正規矩陣當且僅當和一個具有不同特征值的正規矩陣可換.

6）A是非奇異矩陣，M＝A－1A＊，證明A是正規矩陣當且僅當M是酉矩陣.

7）A是正規矩陣當且僅當I－A是正規的.

證 1）A是正規矩陣，則A＊A＝AA＊

由定義1得，A＝UDU＊其中U∈Cn×n為酉矩陣，D為上三角陣.

則（U＊AU）＊（U＊AU）＝（U＊AU）（U＊AU）＊，得A＊A＝AA＊，A為正規矩陣.

2）A＝U｜A｜， A＝｜A＊｜U，由于A＊A＝AA＊，故｜A｜＝｜A＊｜

故U｜A｜＝｜A｜U，U與A 可換；反之，U與A可換，則A＝U｜A｜＝｜A｜U＝｜A＊｜U，故｜A｜＝｜A＊｜A是正規的.

3）證明是顯然的.

4）A是正規的，u是A的一個單位特征向量，特征值為λ，則存在酉矩陣U第一列為u，使得U＊AU且α＝0，取U＊AU的共軛轉置，u是A＊的一個特征向量對應λ－是A＊的特征值.另一方面，設Ax＝λx（U＊AU）（U＊x）＝λ（U＊x）

U是n階酉矩陣，由于Ax＝λx由schur分解，假設A是一個上三角陣.

取e1＝（1，0，…，0）T，e1是A的一個特征向量，假設e1也是A＊的一個特征向量，A＊e1＝Ue1，A＊的第一列由零組成除了第一個元素.因此

5）由于A和B可換，B是正規的，B的所有特征值不同，則B＝V＊CV，V為酉矩陣，C是對角陣diag（c1，c2，…，cn），AB＝BA得WC＝CW，W＝（wij）＝VAV＊，wijci＝wijcj，wij（ci－cj）＝0，i≠j時ci≠cj，wij＝0，因此是VAV＊對角的，A是可以酉對角化的，故A是正規的.

反過來，B＝Udiag（1，2，…，n）U＊，顯然可以得到B是正規的，AB＝BA.

6）由于M＝A－1A＊，由A是正規的則A－1是正規的，故M＊＝A（A－1）＊，M＊M＝A（A－1）＊A－1A＊＝AA－1（A－1）＊A＊＝In，故M是酉矩陣.反過來由于M是酉矩陣，則

M＊M＝In＝A（A－1）＊A－1A＊，A－1In（A－1）＊＝A－1A（A－1）＊A－1A＊（A－1）＊＝（A－1）＊A－1，

A－1（A－1）＊＝（A－1）＊A－1，故A－1是正規的，顯然A也是正規的.

7）由于A是正規的，則A＊A＝AA＊

（I－A）＊（I－A）＝（I＊－A＊）（I－A）＝（I－A＊）（I－A）＝I－A＊－A＋AA＊

而（I－A）（I－A）＊＝I－A＊－A＋AA＊

由于A＊A＝AA＊，故（I－A）＊（I－A）＝（I－A）（I－A）＊

故I－A是正規的.同理I－A是正規的，很容易可以得到A＊A＝AA＊.

故A是正規的.

又由于λt＝xt＋yti，則λ－t＝xt－yti，（xt，yt∈R，t＝1，2，…，n），故

所以

定理3 設A＝（aij）是一個n階復矩陣，且λ1，λ2，…，λn為A的特征值.

2）若A是正規矩陣，則

3）若A和B是正規矩陣且AB是正規矩陣，則BA是正規矩陣

4）設A是正規矩陣，AB＝BA，則A＊B＝BA＊.

5）若A和B是正規矩陣，若AB＝BA，則AB是正規的且存在一個酉矩陣U使得A和B同時對角化

6）設A是正規矩陣，則存在一個多項式P，使得

A＊＝P（A）

證 1）A＝U＊TU是A的schur分解，U是酉矩陣，T是上三角陣，則A＊A＝U＊T＊TU，顯然tr（A＊A）＝tr（T＊T）

A正規時，T是對角的.等號顯然成立.

且這種分解是唯一的.

則PkAQj＝λkPkQj＝λjPkQj，k≠j，則PkQj＝0，Pj＝PjIn＝Pj（Q1＋…＋Qk）＝PjQj

故Qj＝Pj，分解是唯一的，稱為A的譜分解.

3）設λ1（AB），λ2（AB），…，λn（AB）為AB的特征值.由于AB 的特征值和BA的特征值相同，又由于AB＝

故A＊B＝BA＊.

5）A和B是正規矩陣且AB＝BA，由定理3的證明4）得A＊B＝BA＊.

（AB）＊（AB）＝B＊A＊AB＝B＊AA＊B＝（A＊B）＊（A＊B）

（AB）（AB）＊＝ABB＊A＊＝AB＊BA＊＝（BA＊）＊（BA＊）

故AB是正規的.

由于A是正規的，則存在U使U＊AU為對角陣，則

U＊AUU＊BU＝U＊BUU＊AU，U＊AU與U＊BU可換，故U＊BU為對角矩陣，定理得證.6）證明原理：設f是一個函數，f在不同的點λ1，λ2，…，λm的取值分別為b1，b2，…，bm.則

令P（x）＝b1l1（x）＋b2l2（x）＋…＋bmlm（x），p（λ1）＝b1，…，p（λi）＝bi不妨設A＝diag（λ1，…，λn），使p（λi）＝λi，i＝1，2，…，n取不同的特征值.

則A＊＝P（A）.

定理4 設A∈Cn×n，A是正規矩陣，則

1）tr（A＊2A2）＝tr［（A＊A）2］

2）｜｜Ax｜｜＝｜｜A＊x｜｜，x∈Cn

3）若A是一個n階方陣，則｜（Au，u）｜#（｜A｜2u，u）.

4）A是正規矩陣當且僅當｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn

也有｜（Au，u）｜#（｜A＊｜u，u），u∈Cn

證 1）由于｜｜A＊A－AA＊｜｜2F＝2｛tr［（A＊A）2－（A＊2A2）］｝

又 ｜｜A＊A－AA＊｜｜2F＝0

故 tr（A＊2A2）＝tr［（A＊A）2］；

2）｜｜Ax｜｜2＝（Ax）＊（Ax）＝x＊A＊Ax＝x＊AA＊x＝｜｜A＊x｜｜2

故｜｜Ax｜｜＝｜｜A＊x｜｜，x∈Cn

3）設A＝UDV是A的奇異值分解，U和V為酉矩陣，D是非負對角陣，則｜A｜＝V＊DV，｜A＊｜＝UDU＊.

4）由定義4得，A＝U｜A｜

由定理2得，U與A 可換.因為｜A｜12是A 的多項式，則U和｜A｜12可換，則

故有｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn

反過來，如果｜（Au，u）｜#（｜A｜u，u），u∈Cn，由schur定理假設A是上三角陣.

只需證明A是對角陣即可

若λ1＝λ2＝0且α＝0，取兩個正數s，t，且s＞t，u＝（s，t）T，有

｜u＊Au｜＝st｜α｜，u＊｜A｜u＝t2｜α｜，｜u＊Au｜#u＊｜A｜u，（s＜t）

若λ1≠0或者λ2≠0，令

則由｜u＊Au｜#u＊｜A｜u得｜λ1｜#a.

比較｜A｜2＝A＊A的左上角元素得a2＋｜b｜2＝｜λ1｜2，故b＝0

這個矩陣的（1，2）元素得λ1α＝（a＋c）b＝0，故α＝0

因此A是對角陣，則A是正規的.

同理有｜（Au，u）｜#（｜A＊｜u，u），u∈Cn.

參考文獻：

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［8］C R Johnson.Normality and the numerical range［J］.Linear AZgebra A＆，1976，5（1）：84－94.

Remarks on normal matrices

JIA Jie，REN Fangguo
（School of Mathematics and Information Science，Shaanxi Normal University，Xi’an 710062，China）

In this paper，using the normal matrix and the definition of eigenvalue and singular value，contact the spectral norm，Schur lemma，polar decomposition，unitary similar matrix and their equivalent characterizations of normal matrix，the properties of normal matrix eigenvalue and singular value relationship between eigenvalue and singular value respectively and the normal relationship between matrix eigenvalues and trace，and using mathematical analysis and analogy thought only

regular matrix decomposition，the inner product promotion and proves that.

normal matrix；eigenvalue；trace；norm

O152.21

A

1671-9476（2017）02-0014-06

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.004

2016-07-18；

2016-11-25

國家自然科學基金資助項目（No.11471200）

賈杰（1990－），女，河南鄭州人，碩士研究生，研究方向為矩陣論.

＊通信作者簡介：任芳國，陜西師范大學副教授，E－mail：rfangguo＠snnu.edu.cn.