求數列通項公式的常用方法

武良云

摘 要 數列不僅是高中數學的重要內容之一，也是高考的重點考查的內容，數列的通項公式是數列的核心內容，而根據數列的遞推公式求出數列的通項公式是常見的而且又比較困難的問題。研究該內容，不但能夠拓寬解題思路，而且也有助于提高綜合運用知識解決問題的能力。本文重點介紹六類簡單的數列的通項公式的求法。

關鍵詞 數列 通項公式 遞推公式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）16-0069-01

數列在高中數學中占有非常重要的地位，每年高考都會出現有關數列方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，而數列的通項公式的求法是常考的一個知識點，一般常出現在大題的第一小問中，因此掌握好數列通項公式的求法不僅有利于我們掌握好數列知識，更有助于提高高考成績。

一、通用公式法

若已知數列的前n項和Sn的表達式，求數列{an}的通項an可用公式an=求解。一般先求出a1=s1，若計算出的an中當n=1適合時可以合并為一個關系式，若不適合則分段表達通項公式。

例1 已知數列{an}的前n項和Sn=n2 1，求{an}的通項公式。

分析：a1=s1=0，當n≥2時，an=sn sn-1=（n2 1） [（n 1）2 1]=2n 1，由于a1不適合于此等式，∴an=

變式1：知數列{an}的前n項和Sn=，求{an}的通項公式。

二、累加法

一般地，對于型如 an+1 an=f（n）（f（n）為可求和的數列）類的通項公式，且f（1）+f（2）+…+f（n）的和比較好求，可采用此方法來求an。

即：an=（an an-1）+（an-1 an-2）+…+（a2 a1）+a1（n≥2）

例2 已知數列{an}滿足a1=，an+1=an+，求數列{an}的通項公式。

分析：由題知： an+1 an===

∴an=（an an-1）+（an-1 an-2）+…+（a2 a1）+a1

=（ ）+（ ）+…+（ ）+

=

變式2：知數列{an}中，a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2）求數列{an}的通項公式。

三、累乘法

一般地，對于型如=f（n）（f（n）為可求積的數列）類的通項公式，且f（1） f（2）…f（n）的積比較好求，可采用此方法來求an。

即：an= … a1（n≥2）。

舉例3 已知：a1=，an=an-1=（n≥2）求數列{an}的通項。

分析：

∴

變式3：已知，求數列{an}通項公式。

四、待定系數法

一般地，對于型如（p，q為常數）類的通項公式求法，可化成形式為的數列，重新構造出一個以p為公比的等比數列，然后通過化簡用待定系數法求k，然后再求an。

舉例4 （2014﹒新課標II）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1。

證明：是等比數列，并求{an}的通項公式；

分析：（I）由 得： 得：

∴

∴數列是以為首項，3為公比的等比數列

∴

變式4：已知數{an}的遞推關系為，且a1=1求通項an。

（責任編輯 劉 馨）