一題多解與一題多變在數(shù)學中的應用

王靜

摘要：數(shù)學這門學科在當代素質教育和學術教育統(tǒng)一的義務教育中占有重要地位，它是一門自由學科，但同時也是既復雜困難又富有邏輯的學科。也許對大部分學生來說，數(shù)學這門學科是一道難題。因此，數(shù)學學科的教育傳授者在教學中如何傳授這門學科的方法、方式，就顯得尤為重要。

關鍵詞：一題多解；一題多變；數(shù)學

一、一題多解與一題多變在數(shù)學中的應用的重要性

數(shù)學學習最重要的是邏輯性問題，并且經過對比分析，發(fā)散思維，一題多解與一題多變的方法的應用恰恰能達到這個目標和目的，他們能夠不斷提高學生們的邏輯思維能力，數(shù)學分析能力。

一題多解指的是面對一道數(shù)學題，因為有不同的角度進行思考，在腦海中搜尋不相同的解決方法，多種多樣的思路，從而有多種多樣的可用的解決方案，這樣能夠提高學生們的數(shù)學分析和解決能力。在解決實際問題的過程中需要我們進一步掌握分析的方法，能用多種的方法思考問題，從中找到不同的解決策略。下面我將用具體的習題，更好地解釋一題多解。

一題多解案例分析

例題：已知：f（x）=x3+ax2+（a-1）x+1，若在區(qū)間[1， 4]單調遞減，求a范圍？

方法一：解題思路

問題轉化為導函數(shù)f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立，f'（x）≤0解集為A，只需[1， 4]是集合A的子集

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因為f（x）在區(qū)間[1， 4]單調遞減 所以f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立

x2+ax+（a-1）≤0

（x+1）[x+（a-1）]≤0

1.當a<2時，f'（x）≤0解集為[-1，1-a]

所以[1， 4]是[-1，1-a]的子集

4≤1-a解得a ≤ –3

2.當a≥2時，f'（x）≤0解集為[1-a，-1]

不滿足[1， 4]是[1-a，-1]的子集

所以解集是空集

綜上所述：a≤-3

方法二：解題思路

問題轉化為導函數(shù)f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立，導函數(shù)y=f'（x）為開口向上的二次函數(shù)，只需f'（4）≤0，f'（1）≤0同時成立即可

解：f'（x）=x2+ax+（a-1）因為f（x）在區(qū)間[1， 4]單調遞減 所以f'（x）≤0在區(qū)間[1， 4]恒成立

由二次函數(shù)圖像可知，只需

即 解得 所以a ≤ –3

一題多變例題

例題：已知橢圓標準方程+=1，A（0，3），直線l：y=kx-3 與橢圓相交于C，D 兩點，若|AC|=|AD|，求k的值？

解題思路：直線與橢圓聯(lián)立，消元，設C（x1，y1） D（x2，y2），韋達定理：因為|AC|=|AD|，取C，D中點M，則AM垂直CD，即KAMKCD=-1

解： 消y得：（9+25k2）x2-150kx=0，Δ>0

設C（x1，y1） D（x2，y2），由韋達定理得：x1+x2= x1x2=0 y1+y2=k（x1+x2）-6= k2-6=

設M（x0，y0）為CD中點，則

x0=（x1+x2）=，y0=（y1+y2）=

因為|AC|=|AD|，所以AM垂直CD，即KAMKCD=-1

k=-1 整理得：=-，k2=，k=

在一題多變的思維下，我們可以將|AC|=|AD|改成以下兩種形式：

1.以AC，AD為鄰邊做平行四邊形為菱形

2.（AC+AD）CD=0

這兩種已知雖然與原例題有很大區(qū)別，但通過轉化最終都能轉化為AM垂直CD，解題思路與過程非常相似，結果一樣。所以同學們以后在做題的時候，一定要善于將不熟悉的問題做轉化，做起來才能得心應手。

一題多變指的是面對一道數(shù)學題，通過對比，想象，延伸等，能夠獲得一系列的新的題型，甚至能夠總結一定的經驗或者公式更甚者是一般結論。一題多變不是變相地給同學們增加學習負擔，反而一題多解采用不同的問法去解答不同的問題，在解決的過程中這不僅能夠提高學生們數(shù)學分析能力，還有學生們的應變能力，發(fā)散思維的能力，培養(yǎng)學生們在面對一些新的新題或者一眼看上去很難解決的問題面前，能夠展開思維的勇氣和能力。很多人覺得所謂數(shù)學就是熟能生巧。而熟能生巧，不就是題海戰(zhàn)術嗎——題見多了，做多了，解題思路自然就開闊了，做題速度也會快得多，其實這就忽視了讓孩子充分地獨立思考問題能力的培養(yǎng)，獨立思考，這對于數(shù)學學習來說非常重要。endprint