高考視角下的數列大題的求解

項先春

摘要：數列是高考中的熱點考題，常考求數列通項和前n項和.現將近幾年浙江高考數學中求數列通項和前n項和的求法進行總結，以供廣大考生復習借鑒之用.

關鍵詞：數列求和；構造法；分組求和法；裂項相消法；錯位相減法

一.融會貫通，求得通項是關鍵

下面就數列求通項的幾種方法進行分析.

1、公式法

等差、等比數列，直接用公式求解，也是其他幾種求數列通項類型題的解題基礎.

例（2015浙江高考）已知數列{an}和{bn}滿足，a1=2，an+1= 2an （n∈N*），

（1）求an；

解：（1）由a1=2，an+1=2an得an=2n

又如（13年浙江高考）等差數列{an}中公差為d，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比數列.（1）求d，an.

2、累加法、累乘法

（1）遞推公式形如an+1-an= f（n）或者可以化簡為此種形式的，且f（1）+ f（2）+…+ f（n）可求，則用累加法求an.

例（1）已知數列{an}滿足a1=1，且an+1-an=n+1，（n∈N*）求數列{an}的通項公式.

（2）已知數列{an}滿足：a1=1， an+1-an=2n，求數列{an}的通項公式.

解：（1）由題意有

3、利用互化解決

例（2016·浙江高考）已知數列{an}，其前n項和為Sn.且 .

（I）求通項公式an；

解：（1）由題意得 則

又當n ≥ 2時，由an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，得an+1=3an，

所以數列{an}的通項公式為an=3n-1，n∈N*.

這類題型高考反復在考，要注意書寫格式，務必驗證n=1時的情形，如果不成立，通項以分段函數的形式表示.

4、構造法

構造法是將遞推公式進行變形，轉化為等差或等比數列，再求通項.主要包含以下3種類型.

1、遞推公式形如an=pan-1+q，其中p、q為非零常數.

當p=1，則

當p≠1，則將其化為an+λ=p（an-1+λ）的形式；解出λ，再化為等比數列求解（待定系數法）。

例（16·嘉興市檢測）數列{an}中，已知a1=1，當n≥1時an+1=2an+1，求數列{an}通項公式。

對于此種題型或者有些學生不明白為什么要將遞推公式變形為an+λ=2（an-1+λ），可以通過列舉進行說明：數列1，3，7，15，31，…不是等差數列也不是等比數列，但各項都加上1后，變為數列2，4，8，16，32，…它是等比數列。對于這類數列，將其遞推公式化為an+λ=2（an-1+λ）形式，以構造成等比數列，從而求出數列通項an。

2、遞推公式形如an=pan-1+qn，其中p為非零常數.

這類數列，在等式兩邊同時除以qn，將其化為的形式，將看成整體（或換元），再用構造法類型1：

bn=pbn-1+q求解.

例：數列{an}中，已知a1=1，當n≥1時，an+1=2an+2n+1，求數列{an}通項公式.

解：因為an+1=2an+2n+1，

是公差為1的等差數列，首項為

3、遞推公式形如，其中k、m為非零常數.可以對等式兩邊同時取倒數，變為，將 看成

整體（或換元），再用構造法類型1：bn=pbn-1+q求解.

例（16·寧波二模）已知數列{an}滿足，求數列{an}通項公式.

解：對等式 兩邊同時取倒數，得，

是公差為1的等差數列，首項是

上面所歸納的6種求數列通項的方法，都要求我們老師讓學生理解其知識發生的過程和結果，能根據具體的題型選擇適當的方法.

二.明察秋毫，數列求和贏收官

浙江高考中最常考察的是錯位相減法和裂項相消法以及分組求和法.

1、裂項相消法求和

主要用于：

（1）形如型，

（2）形如型，

例（2015·全國卷1） Sn為數列{an}的前n項和，已知an>0，

（1）求數列{an}通項公式，

（2）設求數列{bn}前n項和Tn.

解：（1）由an與Sn的轉化，可得an=2n+1

（2）由an=2n+1可知，知

2、錯位相減法求和

主要用于：求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列.

例（2015·浙江高考）已知數列{an}和{bn}滿足，

（1）求an與bn；

（2）記數列{an bn}的前n項和為Tn，求Tn.

注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應將兩式按q次數對齊，避免兩式相減時看錯列；②作差后，弄清等比數列部分的項數.

3、分組轉化法求和

主要用于：可根據數列通項的結構進行拆分，拆分成幾個可以求和的新數列的和與差，從而求得原數列的和.在含有字母的數列中，需對字母的進行分類討論.

例（2016·浙江高考）已知數列{an}，其前n項和為Sn.且 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

（1）求通項公式an；

（2）求數列{|an-n-2|}的前n項和.

解：（1）解略（由an與Sn的轉化，易得an=3n-1，n∈N*）

（2）設bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|，n∈N*則b1=2，b2=1

當n≥3時，由于3n-1>n+2故bn=3n-1-n-2，n≥3

設數列{bn}的前n項和為Tn，則T1=2，T2=3

求數列的前n項和除了上面介紹的三種常考方法外，還有“公式法求和，倒序相加法求和，合并法求和，利用通項求和”等方法.

數列通項與數列求和是歷屆高考中的熱點考題.本文對浙江數學高考中求數列通項和前n項和的求法進行總結，以供廣大考生復習借鑒之用。

參考文獻：

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[2]張進.求數列通項公式的幾種常用方法.考試周刊，2017-04期

[3]蔡勇全.巧設“常數數列”簡化七類遞推數列的通項公式.數理化·高中版，2016-10期

[4]錢軍.高中數學中求和問題的探究.中學生數理化·學研版，2015-04期

[5]赫纓淋.淺談數列求和方法.中學生數理化·學研版，2015-03期endprint