極限思想在高中數學課堂教學中的滲透

蔡敬發（廈門市五顯中學，福建廈門361100）

極限思想在高中數學課堂教學中的滲透

蔡敬發
（廈門市五顯中學，福建廈門361100）

在中學數學課堂，教師應加強有關極限思想的滲透教學，讓極限思想進入學生數學思維領域。教師可以利用日常教學、概念教學、數形結合、優化解題等各種場合進行有關極限思想的滲透教學。

極限思想；高中數學；課堂教學；滲透；無限趨近

極限思想是近代數學的一種重要思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。借助極限思想，教師可以更形象、更直觀、更細致地認識函數的圖像和性質，從而得以優化解題過程，提高解題思維能力。

在高中數學教材中，極限思想多處出現，試圖回避它是不明智、不應該的，況且，在近幾年的高考試題中，也有多道可用極限思想來處理解決的試題。基于此，筆者以為，教師應在日常課堂中進行有關極限思想的滲透教學，逐步提升理性認識與運用水平。下面就如何在日常課堂教學中滲透極限思想，讓極限思想進入學生數學思維領域這一問題，談點自己的實踐與思考。

一、在日常教學中滲透，逐步形成認知

筆者發現，學生早在小學階段就開始接觸“無限趨近”的概念，如“自然數的個數是無限的”“自然數是可以無限大的”及“直角三角形的銳角可以無限趨近0度角”等。在高中階段，許多知識和方法和“無限趨近”相關，如區間的無窮遠處、數列的項數、柱錐臺之間的關系、“二分法”求方程的近似解、函數圖像的漸進線、曲邊圖形的面積及曲線的切線等。因此，筆者以為，極限思想不能回避，教師要在日常教學中進行滲透，讓學生逐步形成對它的認知。

教科書這樣呈現區間表示：實數集R可以用區間表示為（-∞，+∞），“∞”讀作“無窮大”，“-∞”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”。我們可以把滿足x≥a,x〉a,x≤b,x〈b的實數x的集合分別表示為[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。為了借機滲透“無限趨近”的思想，筆者借助多媒體及實物展示，讓學生模擬對顯微鏡和望遠鏡進行了觀察，從近到遠，再從遠到近，從小到大，再從大到小，讓學生體會無窮遠近與無窮大小的情景，接著讓學生探究“集合{x|x≥-1的區間怎么表示，右端點在哪？一個點從-1出發，沿著數軸的正方向運動，何處會是邊際？”，最后以顯微鏡和望遠鏡的外觀形象引入了“∞”這一符號，滲透了“無限趨近”的思想，為“無限趨近”的后續學習做了鋪墊。又如，在學習指數函數y=ex的性質時，筆者并沒有急著給出它的值域為（0，+∞），而是讓學生描繪適當的點來體驗圖像的變化趨勢，并結合計算器進行估值運算及猜想它的模型，然后用幾何畫板畫出圖像，讓學生體驗“無限趨近”。同樣地，筆者碰到存在漸進線的函數圖像時，一般都不輕易敷衍跳過，而是不失時機的滲透“無限趨近”，讓學生在日常課堂教學中對“無限趨近”有所感知與認識。

二、在概念教學中滲透，深化理解與認識

教科書雖然沒有正面提及極限的概念，但是在導數的定義中，已經很緊密地把導數和極限概念關聯在一起了。當△x→0時，→A(A為常數)，把A稱為f(x)在點x0的導數，記作。在這里，“無限趨近”的實質就是高等數學中的極限概念，實際教學中筆者是借助導數的幾何意義來幫助學生理解“無限趨近”，讓學生直觀地體驗“無限趨近”，然后引導學生逐步認識“無限趨近”在解題中的作用。

筆者以為，從導數的概念到極限思想再到左右極限和無窮遠處的極限，更多的教學阻力是來自教師自身，因為教師可能還拘泥于《普通高中數學課程標準（實驗）》、全國統一《考試大綱》中并未正面提及極限思想，所以不安排在極限上作太多的解釋。其實，極限思想沒必要刻意回避，只要在日常課堂教學中進行滲透，并在導數的概念上適度挖掘，結合畫圖軟件的演示，必要時再引入洛必達法則進行解釋，就能深化對它的理解與認識。這樣，極限思想就不再顯得“高大上”，而是變得“接地氣”，學生能欣然接受。

三、在數形結合中滲透，促進與圖像的融合

筆者試著把極限思想與初等函數的圖像結合起來，讓學生從特殊圖像入手來認識極限思想，讓數形結合思想與極限思想相互融合、碰撞，形成一定的信心與興趣；再嘗試通過極限思想探究“復雜”函數，對“復雜”函數的圖像進行定位，促進極限思想與函數圖像的深度融合，揭開部分“復雜”函數的神秘面紗。

（一）結合初等函數

圖1

圖2

圖3

通過初等函數的圖像認知極限思想，讓極限思想與熟悉的圖像進行碰撞與融合，其效果相當顯明。

（二）探究“復雜”函數

據筆者了解，大部分學生對“復雜”函數懼而遠之，究其原因，主要是弄不清“復雜”函數的圖像，從而影響了進一步研究。基于此，筆者讓學生以y=ex、y=lnx及y=x來組合“復雜”函數，并通過求導對圖像的走勢進行猜測，結合適當的描點畫出圖像。接著筆者讓學生在畫圖軟件上寫入函數解析式進行驗證、比較，從而親近了“復雜”函數，消除了對“復雜”函數的恐懼感。例如，筆者曾引導學生對函數f(x)=x的圖像進行探究，先給出定義域(-∞,0)?（0，+∞）,f(x奇函數，圖像關于原點對稱，易得方程f′(x)=1+=0無零點，函數f(x)無極值，列表如下（可結合函數對稱性簡化列表）：

圖4

畫出如圖4所示的函數圖像后，引導學生歸納描繪函數圖像的基本步驟：

1.給出函數基本性質，如定義域、奇偶性、周期性等。

2.求導并計算出導函數零點，借助導函數的符號，判斷原函數在分區間的單調性，從而給出函數圖像的基本形狀。

3.要關注函數在特殊位置的左右極限及在無窮遠處的極限，進一步確定函數圖像的形狀，必須關注是否存在漸近線，如圖4存在兩條漸近線x=0、y=x。

四、在優化解題中滲透，體驗巧妙解題的魅力

數學思想的魅力在于能巧妙運用，優化解題思路，提升解題效率。極限思想也不例外，它在函數、方程、不等式、三角函數、數列、立體幾何等眾多問題中都可巧妙運用。尤其在解決帶參數的超越函數的零點問題上，可利用參變量分離方法和極限思想對所構造超越函數的圖像進行定位，從而避開繁雜的討論，大大優化解題過程。

例1．（2016年高考數學全國卷Ⅱ理科第21題）

已知函數f(x)=（x-2）ex+a(x-1)2有兩個零點。

（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）略。

分析：這道題讓許多考生感到困難，一個原因是找不到解題的突破口，不明白含帶參數的超越函數有兩個零點究竟意味著什么，另一個原因是對參數a討論的臨界值迷惑不清，致使解題思路明確但陷入討論的泥淖。筆者以為，參變量分離后用超越函數表達a，借助極限思想描繪出這個超越函數的圖像，利用數形結合就不難得出正確結論。

解：由（x-2）ex+a(x-1)2=0(易驗證x=1不是方程的根)可得a=，令g(x)=，易得方程g′(x)=0無零點，函數g(x)無極值，列表，

從而得g(x)的圖像（如圖5），根據圖像，易得a〉0符合題意。

圖5

圖6

點評：此解法的關鍵是x→—∞、x→1-、x→1+、x→+∞的極限必須弄清楚，兩條漸近線x=1、y=0的定位要精準。本題的解法眾多，但本解法更貼近學生的思維實際。

例2．（廈門市2017屆高中畢業班第一次質量檢查理科第20題）

已知函數f(x)=ln x-kx+1(k∈R)。

（Ⅰ）討論函數f(x)的零點個數；（Ⅱ）略。

分析：第一問考察對于含有參數的函數單調性、極值、零點問題，通常有2種破題思路，一是進行參變量分離，二是根據參數進行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡。

解：易得函數的定義域為（0，+∞），

列表，得：

從而得g(x)的圖像（如圖6），根據圖像，得：當k≤0或k=1時，函數f(x)恰有1個零點；當0〈k〈1時，函數f(x)恰有2個零點；當k〉1時，函數f(x)恰有0個零點。

點評：本道題目第一問共5分，學校實測得分0.7分，得分率為14%，令人不滿意。筆者以為，對于本題第一問，若采納參變量分離后用超越函數表達k，借助極限思想畫出超越函數圖像，利用數形結合得出結論的做法，要遠比對k進行分類討論更為合理，得分率會更高。極限思想對超越圖像的定位起了重要的作用，為了提高學生的解題素養，教師要根據情況加強對極限思想的滲透。

總之，在高中數學課堂教學中，教師應逐步滲透極限思想，讓學生正面理解極限思想的概念，充分運用極限思想做好函數圖像的定位，優化數學運算，為學生以后的高數學習做好鋪墊。當然，對極限思想的滲透教學并不止于此，還需要我們的更加深入研究與反思，方可使之更到位、更有實效。

［1］趙斌.高三數學復習中要注意滲透極限思想［J］.數學之友，2015（20）.

［2］劉寧.高中數學教學中極限思想的滲透［J］.數理化解題研究，2015（10）.

［3］徐曉兵.例談極限思想在導數及其應用中的作用［J］.中學數學教學參考，2016（10）.

［4］楊祖望.極限思想在數學教學中的滲透［J］.談學論教，2016（7）.

（責任編輯：王欽敏）