用于三體系統玻色-愛因斯坦關聯的事件混合方法

何慶華

(中國工程物理研究院流體物理研究所,綿陽 621900)

用于三體系統玻色-愛因斯坦關聯的事件混合方法

何慶華?

(中國工程物理研究院流體物理研究所,綿陽 621900)

(2016年7月23日收到;2016年11月3日收到修改稿)

玻色-愛因斯坦關聯(BEC)可以用于測量粒子出射區的時間空間性質,事件混合方法是用于觀測BEC效應的常用手段,對于相對論能區重離子碰撞等可以產生大量全同末態粒子的反應,這種方法具有獨特優勢.但是對于末態粒子數非常有限的反應,守恒關系、共振態和一些其他原因引起的關聯,對事件混合方法產生不可忽視的干擾,事件混合在消除玻色-愛因斯坦關聯的同時也消除了其他所有的關聯,嚴重制約了BEC研究.本文探索一種適合末態只有兩個全同玻色子的三體反應系統的事件混合方法,提出了五種可行的事件混合限制條件,采用數值模擬研究了不同限制條件對事件混合的效果,甄別出最優的限制條件.測試結果顯示,當要求混合事件的丟失質量與原始反應一致,并將原始事件樣本中玻色子能量高于某一給定值的事件剔除掉,這種限制條件下得到的事件混合結果最優,可以用于觀測BEC效應.另外,要求兩個交換玻色子的方位角一致時得到的結果也較優,相比前者,此限制條件不需要刪除一部分事件,可以得到更好的統計誤差.

玻色-愛因斯坦關聯,事件混合,強度干涉

1 引 言

強度干涉提供了一種獲取全同粒子發射源時空尺寸的有效方法[1-3],被廣泛用于高能粒子反應產生的夸克膠子等離子體的尺寸測量[4].對于核反應產生的短壽命核子共振態,如果在衰變過程中能放出兩個或兩個以上相同玻色子或費米子,這種方法也能獲得其壽命及空間尺寸信息[5].強度干涉基本原理是全同粒子波函數之間干涉引起的一種關聯,當有兩個玻色子從某個源出射(圖1),它們的波函數要寫成對稱的形式,這種對稱性導致了當兩個玻色子的動量很接近時它們的出射概率會提高,而提高的幅度依賴于源的大小.因此,這種現象提供了一種間接測量玻色子出射源大小的方法.

玻色子之間的強度關聯一般被稱為玻色-愛因斯坦關聯(Bose-Einstein correlations,BEC)[4],Hanbury-Brown和Twiss[6]于20世紀50年代第一次將其用于測量遙遠天體的大小,因此BEC也被稱為HBT效應.1959年,Goldhaber等[7,8]第一次在粒子物理領域觀測到BEC效應,他們在質子-反質子湮滅實驗中發現,相比不同電荷π介子,相同電荷π介子在出射方向靠近時的發生概率要高一些.到目前已經開展了一系列強子、正負電子及重離子對撞實驗的BEC研究[9-14],觀測到高能區電子、強子對撞實驗反應區的半徑都小于1 fm,沒有觀測到其與質心能量明顯的依賴關系.在重離子對撞實驗中,發現粒子出射源空間尺寸與對撞原子核序數A的依賴關系可以用一個經驗公式來描述[4]：r=1.2×A1/3fm,即與A1/3成正比.

圖1 (網刊彩色)玻色-愛因斯坦關聯示意圖 右邊探測器1與2各自分別探測到一個玻色子,動量分別為p1與p2,這兩個玻色子從左邊的反應區出射,圖中的虛線和實線代表兩種不可區分的出射路徑Fig.1.(color online)Schematic illustration of Bose-Einstein correlations of two bosons.Two detectors capture two bosons emitted from a source with momentap1andp2respectively.Two possible trajectories of them,represented by a solid and a dashed line respectively,cannot be distinguished.

實驗上通過測量全同玻色子動量的關聯函數對BEC進行定量分析.關聯函數是兩個玻色子相對動量譜ρBEC(p1,p2)與一個參考樣本的相對動量譜ρnoBEC(p1,p2)的比值.實驗上無法直接測量參考樣本,只能通過間接方法獲得.有效的參考樣本除了沒有BEC外在其他所有方面與真實的物理樣本一致.目前較為成熟的參考樣本生成途徑可分為兩大類：1)數值模擬方法;2)在原來的樣本基礎上產生參考樣本.數值模擬方法主要用在高能QCD微擾能區,常用的模擬強子反應的兩個蒙特卡羅程序為HERWIG和JETSET[4],但是這些模型目前還不能夠很好地描述BEC效應,在數據分析中常作為參考.另外一類方法根據不同反應會有不同方案.絕大多數實驗都是π±π±的BEC分析,對于此類實驗,一個簡單的方法就是選擇電荷不同的π介子對π±π?作為參考樣本.但是對于電荷為零的玻色子對,如π0π0,此方法不再適用,需要采用事件混合方法[15],即從一系列不同時間產生的相同類型的反應中取出兩個粒子組成參考樣本.事件混合方法也可用于如π±π±此類反應的BEC分析,它是目前被廣泛采用的一種方法.

對于高能區末態粒子數(high-multiplicity)高的非惟一性(inclusive)反應,事件混合方法已被多次成功用來測量BEC效應及估計共振態的本底分布.Drijard和Fischer[16]研究了事件混合方法用于提取高能區inclusive反應共振態信息的應用,詳細分析了事件混合方法的特點,指出只要在事件混合中根據具體問題找到合適的限制條件,這種方法可以有效產生兩個全同粒子的非關聯不變質量譜,實驗信號減去這個本底譜就可獲得共振態信息.

但是在低能區,對于末態粒子數非常有限,如雙中性π介子光生反應γp→π0π0p,事件混合方法的應用面臨許多挑戰.其他原因引起的關聯(如共振態、守恒關系和一些未被完全理解的過程)對事件混合方法產生不可忽視的干擾,事件混合在消除BEC的同時也消除了其他所有的關聯,使得提取BEC信息產生困難,嚴重制約了BEC研究[17].目前對于低末態粒子數的事件混合方法尚缺少較為系統的研究,現有的文獻大多關注的是數值模擬修正或嘗試用一種解析的方法來描述這些干擾并從結果中消除其影響[18].Klaja等[19]在研究pp→ppη和pp→pp+pions反應中兩個質子的關聯時碰到了類似的問題,對于三體反應導致的兩個質子間的非強度關聯對強度關聯函數的影響,他們通過模擬評估了三體反應引起的其他關聯因素的作用,通過修正關聯函數得到結果.雖然這些工作促進了對這些問題的理解,但是目前還是缺少一種成熟的方法來解決這個問題.如果能夠找到合適的限制條件,使得事件混合最大限度地避免受到小系統守恒關聯的干擾,找到一種既可以消除BEC關聯也能保持其他關聯的事件混合方法,將從根本上解決這一問題,得到一種干凈的處理方法.對于研究低能區有限粒子數的BEC效應將是關鍵的突破.

本文針對末態粒子數為三個、只產生兩個全同玻色子的三體系統的BEC分析,提出了以下5種事件混合限制條件：1)丟失質量一致性;2)極角一致性;3)方位角一致性;4)動量一致性;5)能量上限限制.然后采用數值模擬方法,以γp→π0π0p反應為例子,分析了以上每種方法的作用,最后篩選出最適合的限制條件.

2 事件混合限制條件

兩個粒子的BEC函數定義為

其中,ρBEC(p1,p2)為實際發生的具有BEC效應的兩個粒子的概率分布,ρnoBEC(p1,p2)為人為產生的沒有BEC效應的概率分布(即參考樣本).如果假設粒子出射區的密度分布為高斯分布n(x)=n(0)e-x2/2r20,則關聯函數可表示為

其中N為歸一化系數,Q為兩個玻色子相對四維動量的不變質量：Q2=-(p1-p2)2,λ2表示玻色子出射的混沌度,其在0-1范圍內變化,0對應完全相干出射,1對應完全混沌出射,r0代表出射區的高斯半徑.

測量關聯函數的過程首先是獲得實驗數據中兩個玻色子的相對動量Q的分布,然后采用事件混合方法得到參考樣本的Q分布,前者與后者的比值就是所測的關聯函數,用(2)式擬合關聯函數得到參數r0和λ2的值.

如圖2所示,混合事件是通過從兩個不同的事件中取出兩個粒子組合而成,一個有效的參考樣本應具有：a)無BEC關聯;b)保持原有反應引起的其他動力學關聯.由于事件混合是把不同時刻發生的事件中的信息組合得到新的事件,粒子間原有所有關聯被打破,因此混合樣本滿足條件a),但是不滿足條件b).

圖2 (網刊彩色)事件混合方法示意圖,混合事件(c)由事件1(a)和事件2(b)分別取出一個粒子組成Fig.2.(color online)Mixed event(c)is produced by taking two bosons from event 1(a)and event 2(b).

對于γp→π0π0p反應的事件混合,一個前提要求是兩個事件的系統總能量相同時才能混合,這樣混合事件的系統能量與原來事件就是一致的.事件混合面臨的另外一個難點是,絕大多數情況下混合事件的丟失質量與原來反應的丟失質量相差甚遠.為了使得混合事件與真實事件一致并有效,只有混合事件的丟失質量與原始反應一致才保留此混合事件,否則淘汰,這就是丟失質量(missing mass,MM)限制條件[5],數學表達為

其中Mcut為限制閾值,根據實驗條件的分辨率決定,這里設為10 MeV.這個限制條件的一個前提是兩個被混合的真實事件的丟失質量必須是一樣的.丟失質量利用四維動量守恒計算：其中為系統總的四維動量.

為了研究丟失質量限制條件對γp→π0π0p反應中兩個π0事件混合的作用,需要產生一個事件樣本,其中除了γp→π0π0p有關的守恒定律外沒有其他的物理限制.本文采用歐洲核子中心(CERN)研發的軟件平臺ROOT里的一個工具TGenPhaseSpace[20]來生成純相空間分布的γp→π0π0p事件樣本,此算法基于已被收入CERN系統庫函數的GENBOD函數,它的算法由Raubold和Lynch提出[21].

生成純相空間γp→π0π0p樣本的過程如下：首先需要輸入的是系統的總能量Etot,它是入射光子能量Eγ和靜止靶質子的質量mp之和Etot=Eγ+mp,還有末態粒子總數N=3和這些粒子對應的質量mi,每次產生的事件都會返回一個反映其產生概率的權重因子,這個因子的值基于相空間積分RN：

其中P與pj分別為系統總的四維動量和單個粒子的四維動量.按照權重因子存活下來的事件即為預期的純相空間樣本.圖3給出了模擬生成的γp→π0π0p事件的達利茲(Dalitz)圖,即事件概率在π0π0的不變質量平方m2(π0π0)和π0p的不變質量平方m2(π0p)的二維平面上的分布圖,圖中所示均勻的分布說明模擬生成的事件樣本符合純相空間樣本的分布.模擬中,入射光子的能量設為Eγ=1.0 GeV.

圖3 (網刊彩色)模擬產生的純相空間γp→π0π0p事件樣本的達利茲圖,入射光子的能量Eγ為1.0 GeVFig.3. (color online)Dalitz plot ofm2(π0p)versusm2(π0π0)for the generated pure phase space γp→π0π0p sample.The incident photon energy is 1.0 GeV.

基于生成的純相空間γp→π0π0p事件,驗證了丟失質量限制條件的作用,圖4對比了有無丟失質量限制條件時事件混合的結果.圖4(a)給出兩種情況下混合事件的丟失質量譜,可以看出無丟失質量限制條件時得到的丟失質量在質子質量兩側彌散開,而具有此限制條件時則被限制在質子質量的位置.圖4(b)給出的是混合事件中π0π0的相對動量Q的分布圖,圖中顯示無此限制條件時一些混合事件的Q值超出了純相空間Q譜的右邊界,是一些沒有物理意義的事件,而丟失質量限制條件很好地將所有混合事件都限制在具有物理意義的范圍內.圖4(c)給出的是原來樣本的Q分布與混合樣本的Q分布的比值,即關聯函數,結果顯示有丟失質量限制條件時的關聯函數相比無此限制時隨Q的變化更平緩,更接近一個有效事件混合的要求.以上結果顯示丟失質量限制條件可以有效杜絕沒有物理意義的混合事件的產生,并能得到更適合BEC分析的事件混合結果.

圖4 (網刊彩色)有無丟失質量(MM)限制條件得到的混合事件對比 (a)丟失質量分布,為了方便對比,這幾個分布沒有歸一到其積分值;(b)兩個π0介子的相對動量Q分布;(c)關聯函數Fig.4.(color online)Comparison between the event mixing results with the missing-mass(MM)cut and those without this cut：(a)Missing mass distributions;(b)distributions of the relative momentum of two pions;(c)correlation functions.

對于純相空間分布的γp→π0π0p事件,一個有效的事件混合方法應該產生一個平的關聯函數,雖然丟失質量限制條件極大地優化了事件混合結果,但其依然不能產生一條平的關聯函數.雖然在擬合時可以加入額外的參數來消除這種不平的影響,但是如果能找到合適的限制條件得到一條平的關聯函數,不僅不需要額外增加擬合參數,也能使結果更加清晰,因此本文提出了下面五種限制條件：

條件1)僅丟失質量(MM)限制條件;

條件2) 丟失質量限制條件及|cosθ1-cosθ2|＜0.1,其中θ1和θ2代表事件混合中要交換的兩個玻色子的出射極角,這里定義入射光子的方向為Z軸;

條件3) 丟失質量限制條件及|φ1-φ2|＜π/20,其中φ1和φ2代表要交換的兩個玻色子的出射方位角;

條件4)丟失質量限制條件及||p1|-|p2||＜0.02 GeV,其中p1與p2代表要交換的兩個玻色子的三維動量;

條件5)丟失質量限制條件及玻色子最高能量限制條件.

條件5)中的玻色子最高能量限制條件是在原始事件樣本中剔除一部分特殊的事件,剔除標準是這些事件中任何玻色子的能量超過一個給定的最高能量限值Emax.對于入射光子能量Eγ=1.0 GeV的γp→π0π0p反應,最優的Emax為0.5 GeV[5].

3 數值測試與討論

本文采用數值模擬測試以上五種不同限制條件對事件混合的作用,為了甄別哪種限制條件能更有效地產生混合事件并準確獲得BEC參數r0和λ2,除了采用純相空間事件樣本,也使用了具有BEC效應的事件樣本.這些BEC樣本是在純相空間分布的γp→π0π0p事件樣本基礎上改造而成,通過剔除樣本中的一部分事件使其符合BEC統計,剔除的概率按照(2)式給出,具體的過程如下：

1)計算事件中兩個π0的相對動量Q,代入(2)式計算對應的C2(Q)值;

2)產生一個0-1區間均勻分布的隨機數R;

3)比較R與如果R比較大,刪除這個事件.

為了比較,總共產生了一個純相空間分布的樣本(標記為noBEC)和四個具有BEC效應的樣本(標記為BECi,i=1,2,3,4),入射光子能量Eγ以及BEC參數r0和λ2在表1中列出.

表1 生成BEC樣本的BEC參數及入射光子能量Table 1.Combinations of BEC parametersr0andλ2for Monte Carlo BEC samples.

圖5給出了BEC2樣本的達利茲圖,圖中所示的事件密度隨π0π0的不變質量平方m2(π0,π0)的降低而升高,指出BEC事件生成過程成功改變了純相空間樣本的密度分布.

為了驗證BEC效應產生方法的有效性,圖6與圖7分別給出了BEC樣本的Q分布圖和其與noBEC樣本Q分布的比值,即關聯函數,利用(2)式擬合得出的BEC參數與輸入參數在誤差范圍內完全符合,說明了上面的BEC產生過程是有效的.

基于生成的noBEC樣本和4個具有BEC效應的BEC樣本,對其進行事件混合,并分別嘗試了前面提出的5種事件混合限制條件的效果,得到的關聯函數在圖8中給出.結果顯示,這五種不同的限制條件的作用具有很大差異.對于限制條件1-4,它們得到的noBEC樣本的關聯函數都不是一條平坦的直線,條件1得到的C2(Q)隨Q上升,條件2的隨Q先減后增,條件3的隨Q先降后趨于平坦,條件4的先是平坦后隨Q上升,條件5的在Q小于0.6 GeV的區間是一條平坦的直線,只有在Q＞0.6時稍有掉落.對于具有BEC效應的四個樣本,這五種限制條件都能在Q接近0時觀測到關聯函數有一個上升趨勢.

由于限制條件1-4得到的關聯函數都不是平坦的,所以用改造過的(2)式來擬合：

其中1+αQ項為引入的線性因子,α由擬合得出.限制條件5得到的noBEC的關聯函數為一條平坦直線,其得到的關聯函數依然用(2)式來擬合,擬合得到的BEC參數r0和λ2在圖8中每一個子圖中都有顯示,同時也在表2中列出.

為了比較這幾種方法獲得BEC參數的可靠性,定義了如下品質因子qmix：

圖6 模擬產生的BEC樣本的Q分布圖,為了比較,也給出了純相空間分布的noBEC樣本的Q分布(標記為‘PS’)Fig.6.TheQspectra of the generated BEC samples.For comparison,the noBEC sample’sQdistribution(labeled as ‘PS’)is also presented.

圖7 模擬產生的BEC樣本得到的關聯函數,即BEC樣本的Q分布圖與noBEC樣本Q分布的比值,用(2)式擬合得到的BEC參數r0和λ2值也顯示在圖中Fig.7.Correlation functions of the four Monte Carlo BEC samples.The fitted BEC parametersr0andλ2are presented as well,obtained by fitting Eq.(2)to the correlation functions.

表2 五種限制條件下事件混合方法得到的BEC樣本的BEC參數r0和λ2及品質因子qmixTable 2.Fitted BEC parametersr0andλ2for the correlation functions obtained by event mixing with thefive constraints,and the factors of qualityqmix.

圖8 對于noBEC樣本和四個BEC樣本,五種限制條件下事件混合得到的關聯函數,其由原始事件的Q分布和事件混合得到的Q分布的比值得到,用(2)式或(5)式擬合得到的BEC參數r0和λ2值也在圖中給出Fig.8.Correlation functions of the four Monte Carlo BEC samples and the noBEC sample,calculated as theQdistribution of the two pions from original sample normalized to that from the mixed events obtained with different constraints in the mixng.The fitted BEC parametersr0andλ2are presented as well,obtained by fitting Eq.(2)or(5)to the correlation function.

結果表明限制條件5)得到的品質因子值最低,即得到的BEC參數與輸入的值最接近,其他品質因子值由低到高依次為限制條件3),2)和4),最差為限制條件1).

如果考慮到實際應用,限制條件5)是比較可行的觀測BEC的方法.首先因為其對于無BEC效應的樣本可以得到一個平坦的關聯函數,因此不用額外的擬合參數,比其他四個限制條件少一個參數.其次它的數值測試得到的BEC分析品質因子最好.但是限制條件5)需要舍棄掉一部分事件,使統計誤差變差.如果考慮到統計誤差,限制條件3)也是較優的選擇.

4 結 論

本文研究了用于觀測末態只有兩個全同玻色子的三體反應系統的玻色-愛因斯坦關聯的事件混合方法,為了探索一種合適的事件混合方法,提出了五種用于事件混合的限制條件.并采用數值模擬研究了不同限制條件下事件混合方法的效果,挑選出了最優的限制條件.模擬結果指出,當要求混合事件的丟失質量與原始反應的一致,并將原始事件樣本中玻色子能量高于某一給定值的事件剔除掉,這種限制條件下得到的事件混合結果最優,可以用于三體系統BEC效應測量.

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PACS:25.75.Gz,05.30.Jp,05.10.Ln,25.20.Lj DOI:10.7498/aps.66.022501

Event mixing constraints for Bose-Einstein correlations in reactions with three particles in the final state

He Qing-Hua?

(Institute of Fluid Physics,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900,China)

23 July 2016;revised manuscript

3 November 2016)

Bose-Einstein correlations(BEC)are widely used to gain an insight into the spatiotemporal characteristics of boson emitters.It was used for the first time in the 1950s by R.Hanbury-Brown and R.Q.Twiss[Hanbury-Brown R,Twiss R Q 1954Phil.Mag.45 663]in astronomy to measure the dimension of distant astronomical objects emitting photons,and hence is also known as Hanbury-Brown-Twiss effect(HBT).In nuclear and particle physics field,BEC also has important applications in the investigation of the space-time properties of subatomic reaction region,especially in elementaryparticle collisions and relativistic heavy-ion collisions with large multiplicity at high energies.Its potential application in exclusive reactions with low multiplicity in the non-perturbative QCD energy region may offer complementary information like duration and size of nucleon resonances,which are generally excited by hadronic or electromagnetic probes and usually decay into the ground states accompanied by emission of identical mesons.However,the event mixing technique,which is highly adopted for BEC observations in inclusive reactions at high energies with large multiplicity cannot be directly applied to the BEC measurement in exclusive reactions with very limited multiplicity at low energies.The event mixing method produces un-correlated samples from original sample through making mixed events by randomly selecting the momenta of two bosons from different original events.It works well for the high multiplicity case because the degree of freedom of final state particles is large compared with that of the low multiplicity case.In exclusive reactions with a very limited number of identical bosons in the final state,this method is however strongly interfered by non-BEC factors such as global conservation laws and decays of resonances.Appropriate constraints are required to control the event mixing process in order to eliminate the influence of those non-BEC factors.In this study,we are trying to develop an event mixing method for BEC measurement in reactions having only three final state particles and only two identical bosons among them.For this end,five constraint modes for the event mixing are proposed and investigated via Monte Carlo simulation.Each mode employs one or a combination of the following cut conditions:1)missing mass cut(MM)that requires the missing mass of the mixed event to be equal to that of the original event;2)polar angle consistency cut(PAC)that requires that the swapping particles should come from the same polar angle bin;3)azimuthal angle consistency cut(AAC);4)momentum consistency cut(MC);5)energy upper limit cut(EU)that requires that any boson energy should not exceed a given upper limit.The double neutral pion photoproduction on the proton around 1 GeV is taken for example to demonstrate the effects of these constraints on the event mixing.In the simulation,one event sample free of BEC effects and four samples in the presence of BEC effects are generated for testing the ability for these constraints to extract BEC parameters.It is found the constraint mode using the MM and PAC cuts,and the mode employing the MM and AAC cuts,and the mode adopting the MM and the EU cuts can be used to observe BEC effects and extract BEC parameters.Among them,optimum results can be achieved by the combination of the MM and EU cuts.

Bose-Einstein correlations,event mixing,intensity interference

:25.75.Gz,05.30.Jp,05.10.Ln,25.20.Lj

10.7498/aps.66.022501

?通信作者.E-mail：hetsinghua@163.com

?Corresponding author.E-mail：hetsinghua@163.com