周期波動性對金融市場穩定性的影響?

周若微 李江城2)董志偉 李云仙2) 錢振偉

1)(云南財經大學金融學院巨災風險管理研究中心,昆明 650221)

2)(云南大學統計系,昆明 650091)

周期波動性對金融市場穩定性的影響?

周若微1)李江城1)2)?董志偉1)李云仙1)2)錢振偉1)

1)(云南財經大學金融學院巨災風險管理研究中心,昆明 650221)

2)(云南大學統計系,昆明 650091)

(2016年5月23日收到;2016年11月29日收到修改稿)

利用平均逃逸率和逃逸時間分別研究了周期性波動對股票價格穩定性在金融常態和金融危機下的影響.基于Heston模型、引入單穩勢函數和周期函數,構建了描述股票價格處于穩定狀態和崩盤的逃逸狀態的動力學模型.通過數值模擬和實際數據結合,發現：1)利用道瓊斯指數成分股的實際金融數據對模型參數進行估計,對模型和實際金融數據的概率密度函數做了比較,發現模型和實際情況較為符合;2)從金融常態到金融危機逃逸率的研究中,發現較強的經濟增長率、較小的周期波動強度、較小的長期波動值和較弱的波動的振幅都會增強股票價格處于穩定狀態的機率;3)通過研究金融危機周期性波動對價格平均逃逸時間的影響,發現存在一個最佳的周期波動振幅能最大化股票價格穩定性,某個最佳的波動均值回歸速度、變弱的周期波動頻率、變強的噪聲關聯強度和增加的經濟增長率會進一步加強該最佳周期波動振幅從而進一步促進穩定性.

周期波動,平均逃逸時間,逃逸率,金融物理

1 引 言

物理學研究發現隨機共振和逃逸現象是自然界中非常常見的現象.隨機共振[1]在諸多領域被廣泛地發現和研究,例如雙穩系統[2-5]、線性系統[6]、生物系統[7]、生態系統[8,9].在對逃逸現象的研究中,平均逃逸時間,也就是平均首通時間是一個常被采用的物理量[10-14].Bonanno等[10]在研究單穩勢中粒子逃逸現象時發現了噪聲增強穩定性行為.Fiasconaro和Spagnolo[11]研究了一個過阻尼的粒子受到色噪聲驅動從亞穩態逃逸的過程,同樣發現了噪聲增強系統的穩定性行為.Jia[12]利用平均首通時間研究了受關聯噪聲驅動的延遲雙穩系統中時間延遲對瞬態行為的影響.Yoshimoto等[13]討論了Belousov-Zhabotinsky化學反應的混沌變化中噪聲增強有序性的行為.Zeng等[14]研究了活躍的布朗粒子的逃逸和共振行為,也發現了噪聲增強穩定性現象.在金融系統中也發現了隨機共振現象和逃逸現象.如 Krawiecki和Holyst[15]用隨機共振描述股票市場崩盤和泡沫,Babinec[16]研究了交互代理模型中的隨機共振現象,Li和Mei[17]發現了金融市場中的逆共振現象及隨機共振中的延遲作用.Heston模型與逃逸時間被廣泛應用于金融危機中股票價格動力學變化的研究,如用單穩勢函數的方法研究了修正的Heston模型中的均值逃逸時間[18,19]、對證券市場發展中的不同模型中沖擊時間的統計特征[10,20]、華爾街市場證券價格收益率逃逸時間的統計特征[11]、平均逃逸時間和生存率的準確表達[21,22]等.現今利用物理的方法和工具、復雜性科學、網絡科學和數據挖掘技術來對社會經濟系統中的各種問題(如金融市場)進行分析建模取得了不少成果,并興起了一個逐漸成長的研究方向——金融物理學[23].

與此同時,股票市場價格的波動性是有別于風險和收益的一個重要的研究熱點.投資者的資產配置和投資行為等信息往往也是通過股市波動性在市場中傳導的.對股票價格波動特征的研究[24]、衍生工具定價[25]、風險控制[26]、市場監管和價格預測[27]等金融市場的重大研究課題都具有極其重要的意義.波動性使得金融市場時間序列表現出尖峰肥尾[28]、長期記憶和波動性集聚[29]等統計學特征.Bollerslev[30]提出了廣義自回歸條件異方差波動率結構.Ding等[31]對標普500指數收益率的開創性研究發現波動率表現出很強的長期記憶性,具有波動持久性.Bansal等[32]指出波動性對資產定價和宏觀經濟有著重大的作用.Jebabli等[33]在世界股票市場和油價沖擊對食物價格的影響的研究中發現了波動溢出現象.Heston模型[34]也能夠很好地描述金融市場肥尾、長期記憶和波動性集聚等統計學特征.Forde等[35]基于Heston模型研究了隱含波動率的期限結構.Drǎgulescu和 Yakovenko[36]基于Heston模型和隨機波動研究了收益的概率密度分布.特別是波動性集聚表現出明顯高波動和低波動周期性交換的特征.Poon和Granger[37]評論了波動性的研究并指出了盤中周期性波動的特征.Fouque等[38]利用漸進定價理論研究了標普500指數的隱含波動率,解釋了伴有時間周期波動的潛在價格動力學行為.因此,股票價格波動性變化在金融市場中具有重要的意義,值得深入討論.

本文結合物理中共振和逃逸的思想,應用Heston模型描述股票價格的動力學,綜合地研究股票市場中價格的周期波動性對市場穩定性的影響.文中結構如下：第二部分引入周期性波動,建立周期波動的Heston模型;第三部分比較了所構建模型和實際數據的概率密度函數;第四部分用共振的思想研究一個波動周期內系統出現危機的比率;第五部分利用價格平均逃逸時間討論周期波動性對市場穩定性的影響;第六部分為總結.

2 周期的Heston模型

由前面的討論可以發現Heston模型能很好地描述股票價格的動力學變化過程,因而股票價格的動力學模型可以用下面簡化的Heston模型的隨機微分方程組來表示[34,36]：

其中x(t)表示對數股價,μ為經濟增長率,a表示回歸v(t)的均值回歸速度,b是v(t)的長期方差,θ為波動率振幅.v(t)是一個時間為a-1的指數瞬變過程,并且向b靠近[39].ξ(t)和η(t)是兩個相關的維納過程,滿足以下條件：

λ是ξ(t)和η(t)的相關系數.盡管在文獻[17]中分別討論了外部和內部的周期信息對金融系統的影響,然而股票市場是一個復雜的系統,公司的股票價格一直會受到市場外部宏觀經濟的影響和公司自有的內部周期性信息的作用.內外周期性信息的共同作用下,必然導致股票價格的波動性,這會使得股價波動表現出高波動和低波動周期性交替變換的波動集聚特征.如對經濟代理兩個行為模式的研究發現,行為切換會導致大的波動和生成總體波動性集群,表現出周期特征[40].因而波動率振幅θ因受內外周期性作用,其中必然包含有周期性特征.而這樣的周期特征可以展開為傅里葉級數的形式：

其中A0,Ai,P,φi為展開參數.為了研究的簡便,本文主要研究一級展開,即使用c+Acos(Ωt+φ)來簡化替換方程(1)中的θ,Acos(Ωt+φ)便是內外周期性信息對股價波動性的作用.A,Ω和φ為波動周期性的振幅、頻率和初始相位,c為波動率振幅θ的期望,波動的周期性圍繞c在變化.方程(1)變為

金融系統中股價在一定的價格區域內,多空雙方力量平衡時表現出盤整的特征.當信息和市場中的投資者的行為發生共振現象時,投資者往往表現出羊群行為,促使股價單方面暴漲和暴跌.當共振行為超出一定的閾值,整個市場會出現不可逆轉的股價嚴重泡沫和崩盤現象,進而引發整個系統的危機.在此我們采用文獻[18,19]中的單穩勢函數U(x)來描述這個過程,詳見圖1.U(x)=px3+qx2,p=2和q=3.U(x)是單穩勢函數,x=-1的虛線分為左右兩個區域,粒子如果落入x≥-1的區域是相對穩定區域,系統往往處于動態穩定,這和股價處于常態類似;反之如果落入x＜-1的區域,粒子很大概率上處于單方面往左區域逃逸,這與股價崩盤是非常類似的.股價如果在右邊勢阱中,則股票價格處于較為穩定的區域.當市場中共振行為使得股價波動性越過左邊不穩定態的頂端時,股價會趨于不穩定的狀態,極大可能會出現崩盤效應.因而受周期波動性和單穩勢函數影響的動力學方程可以變為如下形式：

基于文獻[36]和極值理論的方法,與文獻[17]相似,考慮小周期波動和低頻周期,選擇和文獻[17]中一樣的參數值：A=0.05,Ω=0.05,我們對方程(4)進行參數估計.數據采用的是道瓊斯工業指數30只成分股在2007年9月3日到2008年12月31日,共計70637個樣本.與數據匹配,考慮從危機初期開始,和亞穩態位置類比,故而隨機模擬方程(4)時,采用初始位置x=-1到結束位置x=-6為止.可以得到μ,λ,a,b和c參數估計值分別為=0.0162593,=0.189739,=2.30123,=0.00256536 和=0.013307.

圖1 股票對數價格的單穩勢函數圖Fig.1.Cubic potential used in the dynamical equation for the price.

3 價格收益的概率密度函數

在本節中,為了測試第2部分的假設合理性,我們比較了模型和時間數據的股票價格收益的概率密度函數.采用文獻[41,42]中的描述,股價的日收益可以定義為

其中xi是在第i個時間點的對數價格(i=1,2,3,···).

為了比較收益 Δxi的概率密度函數 (PDF),我們采用第2部分估計得到的參數進行模擬.由方程(2),采用Box-Muller的方式模擬高斯白噪聲.時間步長為Δt=0.01,每一個步長當作一個交易周期單位,如果采用的是日數據,則可以理解為一天.基于方程(4)和(5),模擬超過106個路徑,最后得到收益的PDF.對于實際金融數據,也采用第2部分提到的道瓊斯工業指數30只成分股從2007年9月3日到2008年12月31日7萬多個交易日的每日復權的收盤價;對復權收盤價先求對數,后用方程(5)的方法求出70637個對數日收益率樣本,再用頻數法求出收益的PDF(組間距離為0.01).兩個結果比較后呈現在圖2中,可以發現實際數據和模型模擬得到的結果非常符合.

圖2 基于Heston模型和真實數據集的收益概率密度函數比較Fig.2.Probability density functions of price returns for a simulated data set from the Heston model and a real market data set.

4 周期逃逸率

前面已經論述了波動周期性的變化會表現出波動集聚的特征.只要波動不大于某個臨界值,股票價格如果初期處于穩定狀態,也就是如粒子初期處于圖1右邊區域勢阱中,會一直持續穩定下去.但是,如果投資者的恐懼和貪婪驅動下的交易行為,與內外周期信息驅動的周期性波動性發生同步共振現象,會放大波動性,驅使股票波動性超越某個閾值,逃逸出右邊的勢阱,進入左邊逃逸區域.為了研究哪些因子會誘發這個逃逸行為,我們使用布朗粒子來描述股價的隨機波動.研究從穩態 (x=0)出發,逃逸到明顯已經進入左邊區域(x≤-6.0)粒子的比率,也就是從股市穩定到發生股票崩盤現象的概率.鑒于波動的周期性,我們研究了一個周期內從穩定態逃逸到崩盤區域的逃逸率,也就是平均周期逃逸率(mean periodic escape rate,MPER).具體計算方法：給定初始位置x0=0,用圖2的方法基于方程(2)和(4)模擬股價的軌跡.考慮Δt=0.01為一個交易日,計算一個周期股價的路徑,由方程(4)中Ω求出一個周期為個交易日.一個周期結束,股票價格如果為x≤-6.0,則記為一次逃逸,反之則記為處于穩定區域.而后重新開始計算路徑,總共計算超過106條路徑,用逃逸的總次數除以總路徑量,計算出一個周期內平均逃逸的比率.

圖3 MPER關于 lg(A)和 lg(Ω)的相位圖Fig.3.The phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(Ω).

為了研究周期性波動對MPER影響,圖3給出了 MPER關于 lg(A)和lg(Ω)的相位圖.從圖3中可以發現,隨著對數周期波動性強度lg(A)的增加,黑色區域慢慢變為白色,也就是MPER逐漸增大.這也就是說,隨著周期波動性強度增強,股票市場越不穩定.在高波動區域,對數周期波動性頻率增強使得MPER減少.這是因為周期波動性頻率增強減少了周期的長度.該相位圖黑色區域是影響因子的安全區域,白色則是逃逸率100%的危險區域.由此,可以很方便地找到股票價格穩定性區域和不穩定區域.

圖4 MPER的相位圖 (a)MPER關于lg(A)和λ的相位圖;(b)MPER關于lg(A)和lg(μ)的相位圖Fig.4.The phase diagrams of MPER：(a)The phase diagram of MPER vs.lg(A)andλ;(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(μ).

為了研究周期性波動、噪聲關聯強度和經濟增長率對MPER影響,圖4(a)和圖4(b)分別給出了MPER關于lg(A)和λ的相位圖以及關于lg(A)和lg(μ)的相位圖.從圖4(a)中可以發現,噪聲關聯強度λ對MPER影響是微弱的,基本不會改變黑色安全區和白色逃逸區的大小.兩個區域的臨界閾值主要由周期性波動強度A所決定.圖4(b)則顯示了增強的對數經濟增長率會增大黑色安全區域的大小.

為了研究波動性的其他因子對MPER的作用,圖5(a)給出了MPER關于lg(A)和lg(a)的相位圖;圖5(b)給出了關于lg(A)和lg(b)的相位圖;圖5(c)給出了關于lg(A)和lg(c)的相位圖.圖5(a)顯示了增強的對數波動均值回歸速度lg(a)會增大黑色安全區域的大小;圖5(b)和(c)都顯示了相同的特征,小的對數長期波動值lg(b)和波動的波動lg(c)使得股票價格處于黑色的安全區域,反之高的lg(b)和lg(c)誘導價格處于白色的逃逸區域.

圖5 MPER的相位圖 (a)MPER關于lg(A)和lg(a)的相位圖;(b)MPER關于lg(A)和lg(b)的相位圖;(c)MPER關于lg(A)和lg(c)的相位圖Fig.5.The phase diagrams of MPER：(a)The phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(a);(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(b);(c)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(c).

5 金融危機中的平均逃逸時間

如果股票價格處于第4部分中的白色區域,此時股價如同粒子逃逸一樣容易往左邊滑下去.這樣的現象在金融市場中則表現為股價崩盤現象,進而引發金融危機.然而研究發現,噪聲在某些條件下會表現出增強系統穩定性的作用.同樣在金融危機時,周期性波動是否會增強系統的穩定性?為了研究在金融危機狀態下周期性波動對金融系統穩定性的影響,我們使用平均逃逸時間(MET)來進行分析.考慮已經處于白色的逃逸區域,選擇圖1中左邊區域的x=-1.25開始,到明顯進入到金融危機的末期,股價已經嚴重貶值的x≤-6.0為止.由方程(2)和(4)得到平均逃逸時間.

圖6 對數平均逃逸時間 lg(MET) (a)lg(MET)關于lg(A)和lg(Ω)的函數;(b)lg(MET)關于lg(A)和λ的函數Fig.6.The function of lg(MET)：(a)lg(MET)vs.lg(A)and lg(Ω);(b)lg(MET)vs.lg(A)andλ.

為了分析周期波動性和噪聲關聯強度對MET的作用,圖6(a)給出了對數平均逃逸時間lg(MET)關于 lg(A)和 lg(Ω)的函數;而圖6(b)給出了關于 lg(A)和λ的函數.圖6(a)和圖6(b)都顯示了lg(MET)vs.lg(A)存在著一個極大值,也就是說存在一個最佳的周期波動強度A使得平均逃逸時間最大(即最佳的A最大地增強了股票價格的穩定性).圖6(a)顯示了隨著lg(Ω)的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在減小;反之,圖6(b)顯示了隨著λ的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在增大.也就是說周期波動頻率的增加減弱了股票價格的穩定性,而關聯噪聲強度的增加則加強了股票價格的穩定性.

圖7 (a)對數平均逃逸時間 lg(MET)關于lg(A)和lg(μ)的函數;(b)MPER關于lg(A)和lg(μ)的相位圖Fig.7.(a)The function of lg(MET)vs.lg(A)and lg(μ);(b)the phase diagram of MPER vs.lg(A)and lg(μ).

為了分析周期波動性和經濟增長率對MET的影響,圖7(a)給出了對數平均逃逸時間lg(MET)關于 lg(A)和lg(μ)的函數.從圖7(a)中可觀察到lg(MET)vs.lg(A)存在著一個最大值,而且隨著lg(μ)的增大,lg(MET)vs.lg(A)的最大值在增大.當 lg(μ)取值較大時(特別是lg(μ)約大于閾值-1.7),增大的lg(μ)會驅動本來在逃逸過程的粒子進入到穩態區域,也就是說當經濟增長率超過某個閾值的時候,粒子將很可能長久地留在穩定區域,使得平均逃逸時間趨近于無窮和平均周期逃逸率趨近于0.為了表明這個現象,MPER關于lg(A)和 lg(μ)的相位圖呈現在圖7(b)中.此時模擬的起始位置為x=-1.25和終止位置為x≤-6.0.圖7(b)中顯示了當經濟增長率大于 10-1.7(約為2.0%)時,股票價格由即將進入金融危機的狀態轉換為穩定的經濟狀態.這和實際的經濟狀態是符合的,高速增長的GDP將會促進股票市場穩定.

圖8 對數平均逃逸時間lg(MET) (a)lg(MET)關于lg(A)和lg(a)的函數;(b)lg(MET)關于lg(A)和lg(b)的函數;(c)lg(MET)關于lg(A)和lg(c)的函數Fig.8.The logarithmic mean elapsed time lg(MET)：(a)lg(MET)vs.lg(A)and lg(a);(b)lg(MET)vs.lg(A)and lg(b);(c)lg(MET)vs.lg(A)and lg(c).

為了分析波動性的其他因子對MET的作用,對數平均逃逸時間lg(MET)關于lg(A)和lg(a)的函數圖見圖8(a);對數平均逃逸時間lg(MET)關于lg(A)和lg(b)的函數圖見圖8(b);對數平均逃逸時間 lg(MET)關于 lg(A)和 lg(c)的函數圖見圖8(c).圖8(a)—(c)都顯示了lg(MET)vs.lg(A)存在著一個極大值.圖8(a)還表明了lg(MET)vs.lg(a)也存在著一個最大值,而且這個最大值會進一步加強 lg(MET)vs.lg(A)的極大值.也就是說一個最佳的波動均值回歸速度會最強地增加lg(MET)vs.lg(A)的極大值,也即最佳的波動均值回歸速度和周期波動振幅會有互相加強的作用.圖8(b)和圖8(c)也都表明了在小的周期波動強度A下,lg(MET)vs.lg(b)和lg(MET)vs.lg(c)都存在一個最大值.lg(MET)vs.lg(A)的最大值的區域和這兩個最大值類似,都在較小的對數長期波動值lg(b)和波動振幅lg(c).這和圖5中的結果是相對應的.

6 結 論

本文研究了穩態區域和逃逸區域中周期性波動對股票價格穩定性的作用.我們應用Heston模型來描述股票價格的動力學過程;引入了一個穩態和一個亞穩態的單穩勢函數來刻畫股票價格處于穩定狀態和崩盤的逃逸狀態;在股票價格波動的振幅項中,引入了周期函數,刻畫周期波動性.結合實際數據,采用了極值方法對參數進行了估計,對模型和實際金融數據的概率密度函數的比較結果較為符合.

基于共振的思想,采用了一個周期內從穩態到明顯逃逸狀態的逃逸率來描述股票價格從穩定狀態到金融危機狀態的概率,并研究了周期性波動對周期逃逸率的影響.通過相位圖刻畫了安全區域和危機區域的參數范圍,發現較大的周期波動強度、較大的長期波動值和較強的波動的振幅都會誘導股票價格進入崩盤的危機狀態;反之,較強的經濟增長率、較小的周期波動強度、較小的長期波動值和較弱的波動的振幅都會增強股票價格處于穩定狀態.

對于已經進入金融危機狀態的股票價格穩定性,我們利用平均逃逸時間研究了周期性波動對穩定性的作用,發現分別存在一個最佳的周期波動振幅、波動均值回歸速度、長期波動值和波動的振幅使得股票價格穩定性最強;同時最佳的波動均值回歸速度和周期波動振幅會有互相加強的作用.在平均逃逸時間與周期波動振幅的函數中,增強的噪聲關聯強度和經濟增長率會加強股票價格的穩定性;反之,增強的周期波動頻率會減弱股票價格的穩定性.

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Influence of periodic volatility on the stability offinancial market?

Zhou Ruo-Wei1)Li Jiang-Cheng1)2)?Dong Zhi-Wei1)Li Yun-Xian1)2)Qian Zhen-Wei1)
1)(Catastrophic Risk Management Research Center,School of Finance,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650221,China)
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23 May 2016;revised manuscript

29 November 2016)

Various stochastic volatility models have been designed to model the variance of the asset price.Among these various models,the Heston model,as one-factor stochastic volatility mode,is the most popular and easiest to implement.Unfortunately,recent findings indicate that existing Heston modelis not able to characterize all aspects of asset returns,such as persistence,mean reverting,and clustering.Therefore,a modified Heston model is proposed in this paper.Compared with the original Heston model,the mean-reverting Cox Ingersoll and Ross process is modified to include a cosine term with the intention of capturing the periodicity of volatility.The phenomenon that high-volatile period is interchanged with low-volatile periods can thus be better described by adding such a period term to the volatility process.In addition,the geometric Brownian motion is replaced by a random walk in the presence of a cubic nonlinearity proposed by Bonanno et al.By doing so,a financial market with two different dynamical regimes(normal activity and extreme days)can be modeled.Closed-form solution for the modified Heston model is not derived in this paper.Instead,Monte-Carlo simulation is used to generate the probability density function of log-return which is then compared with the historical probability density function of stock return.Parameters are adjusted and estimated so that the square errors can be minimized.Daily returns of all the component stocks of Dow-Jones industrial index for the period from 3 September 2007 to 31 December 2008 are used to test the proposed model,and the experimental results demonstrate that the proposed model works very well.The mean escape time and mean periodic escape rate of the proposed modified Heston model with periodic stochastic volatility are studied in this paper with two different dynamical regimes likefinancial markets in normal activity and extreme days.Also the theoretical results of mean escape time and mean periodic escape rate can be calculated by numerical simulation.The experimental results demonstrate that 1)larger value of rate of return,smaller long run average of variance and smaller magnitude of periodic volatility will reduce the mean periodic escape rate,and thus stabilize the market;2)by analyzing the mean escape time,an optimal value can be identified for the magnitude of periodic volatility which will maximize the mean escape time and again stabilize the market.In addition,an optimal rate of relaxation to long-time variance,smaller frequency of the periodic volatility,larger rate of return,and stronger correlation between noises will furtherreduce the mean escape time and enhance the market stability.

periodic volatility,mean escape time,escape rate,econophysics

:05.40.—a,89.65.—s,02.50.—r

10.7498/aps.66.040501

?國家杰出青年科學基金(批準號：11225103)、國家自然科學基金(批準號：11165016,71263056)、第57批中國博士后科學基金項目(批準號：2015M572507)和云南省博士后定向培養項目(批準號：C6153005)資助的課題.

?通信作者.E-mail：lijiangch@163.com

*Project supported by the National Science Fund for Distinguished Young Scholars of China(Grant No.11225103),the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11165016,71263056),the China Postdoctoral Science Foundation(Grant No.2015M572507),and Postdoctoral Directional Ttraining Project in Yunnan Province,China(Grant No.C6153005).

?Corresponding author.E-mail：lijiangch@163.com