損傷失效率下Lomax分布在步進試驗下的統計分析

和 陽，王蓉華，徐曉嶺

(1.上海師范大學 數理學院，上海 200030; 2.上海對外經貿大學 統計與信息學院, 上海 200030)

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損傷失效率下Lomax分布在步進試驗下的統計分析

和 陽1，2，王蓉華1，徐曉嶺2

(1.上海師范大學 數理學院，上海 200030; 2.上海對外經貿大學 統計與信息學院, 上海 200030)

為了能夠在盡量短的時間內得到產品的品質信息，而且要保證這些信息是可靠的，采用加速壽命試驗是一種合適的試驗方法，通過研究在損傷失效率(TFR)模型下，Lomax分布在簡單步進應力加速壽命試驗下的極大似然估計以及基于漸進正態性的近似區間估計。通過Monte-Carlo模擬一批數據，經過計算得到參數的點估計和近似區間估計都在真值附近，而且使用步進應力加速壽命試驗縮短了試驗時間，達到了預期的目標。

Lomax分布；步進應力；損傷失效率模型；漸進正態性；極大似然估計；Monte-Carlo模擬

Abd Ellah，A H在文獻[1]中將Lomax分布稱為第二型的Pareto分布，該分布包含了單調遞增和單調遞減的失效率，在分析醫學、生物科學和工程科學等方面的壽命試驗數據處理中起著重要的作用。關于該分布的統計推斷理論引起很多統計學者的興趣。文獻[2]研究了熵損失下兩參數Lomax分布中尺度參數已知時形狀參數的Bayes估計，文獻[3]研究了對數熵損失下兩參數Lomax分布中形狀參數的Bayes估計，文獻[4]研究了NA樣本下兩參數Lomax分布中形狀參數的經驗Bayes檢驗，文獻[5]研究了在不同損失函數下兩參數Lomax分布中尺度參數已知時形狀參數的Bayes估計，文獻[6]得出了Linex損失函數下兩參數Lomax分布中尺度參數已知時形狀參數的Bayes估計及多層Bayes估計，文獻[7]研究了在Linex損失函數下兩參數Lomax分布中形狀參數的E-Bayes估計，運用MonteCarlo隨機模擬對各個估計值進行比較，文獻[8]研究了兩參數Lomax分布次序統計量的性質和漸進分布，文獻[9]研究了兩參數Lomax分布中參數的區間估計和假設檢驗，文獻[10]討論了CE模型下Lomax分布簡單步進應力加速壽命試驗的極大似然估計以及參數的漸進方差-協方差矩陣，給出了基于極大似然估計漸進正態性的區間估計，通過似然比的方法獲得了參數的假設檢驗。本文研究了全樣本下，在損傷失效率(TFR)模型下Lomax分布簡單步進應力加速壽命試驗的極大似然估計和近似區間估計，討論了定數截尾樣本下，Lomax分布簡單步進應力加速壽命試驗下參數的極大似然估計和近似區間估計。

設某產品的壽命T服從Lomax分布，其分布函數與密度函數分別為

其中:β為尺度參數，λ為形狀參數。

1 損傷失效率模型和漸進正態性

文獻[11]提出了損傷失效率(TFR)模型，考慮簡單步進應力加速壽命試驗。在這類試驗中，n個產品首先在應力S1下進行試驗，試驗持續到τ1時刻，將試驗應力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產品將在應力S2下繼續進行試驗，直到全部產品失效，試驗停止。假定應力變化的結果是導致開始時失效率函數λ1(t)乘上與變化點τ1有關的一個未知因子α(α>1)。記步進應力壽命時間t*的失效率函數為γ*(t)，所提議的損傷失效率(TFR)模型為

γ*

因子α與S1和S2有關，而且有可能和時間變點τ1也有關。

定理[12]:假設Θ為開區間，概率密度函數f(x;θ),θ∈Θ滿足

1) 在參數真值θ0的領域內，?lnf/?θ,?2lnf/?θ2,?3lnf/?θ3對所有t都存在；

2) 在參數真值θ0的領域內，|?3lnf/?3|≤H(t)，且EH(t)<∞；

3) 在參數真值θ0處，

2 損傷失效率下Lomax分布在步進壽命試驗下的統計分析(全樣本情況)

考慮TFR模型下簡單步進應力加速壽命試驗。在這類試驗中，n個產品首先在應力S1下進行試驗，試驗持續到τ1時刻后(其間共有r個產品失效，次序失效時間記為t(1),t(2),…,t(r))，將試驗應力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產品將在應力S2下繼續進行試驗，直到全部產品失效，試驗停止(其次序失效時間記為t(r+1),t(r+2),…,t(n))。

此時，失效率函數為

γ*

殘存函數為

密度函數為

f*

似然函數為

對數似然函數為

lnL(α,λ,β)=lnC++nlnλ+nλlnβ+(n-r)lnα+

λ(α-1)(n-r)ln(τ1+β)-

分別求lnL(α,λ,β)對α、λ、β的偏導數：

λ=n/(-nlnβ-(n-r)(α-1)ln(τ1+β)+

分別求lnL對α、β、λ的二階偏導數：

由此可得fisher信息陣為

取置信度為1～δ，則δ的置信區間為

同理，β的置信區間為：

λ的置信區間為：

3 損傷失效率下Lomax分布在步進壽命試驗下的統計分析(定數截尾)

考慮TFR模型下定數截尾簡單步進應力加速壽命試驗。在這類試驗中，n個產品首先在應力S1下進行試驗，試驗持續到τ1時刻后(其間共有r1個產品失效，次序失效時間記為：t(1),t(2),…,t(r1))，將試驗應力水平提高到S2，在時刻τ1之前未失效的產品將在應力S2下繼續進行試驗，直到第r個產品失效，試驗停止(其次序失效時間記為：t(r1+1),t(r1+2),…,t(r))。

似然函數為：

對數似然函數為：

分別求lnL(α,β,λ)對α、λ、β的偏導數：

分別求lnL對α、β、λ的二階偏導數：

由此可得fisher信息陣為

取置信度為1-δ，則δ的置信區間為

同理，β的置信區間為

λ的置信區間為

4 Monte-Carlo算例分析

例1：取樣本容量n=20，參數真值取為β=0.5，α=1.5，λ=1，τ1=1，通過Monte-Carlo模擬產生20 個步進應力下的隨機數如下：

在應力1(S1=2)下的失效時間為

0.045 8 0.046 1 0.082 5 0.085 3 0.097 3

0.166 9 0.269 7 0.279 0 0.389 5 0.458 8

0.566 7 0.651 8 0.711 8 0.889 6

在應力2(S2=4)下的失效時間為

1.049 3 1.264 9 1.613 0 1.692 3 2.971 7 12.494 4

利用牛頓迭代法可得到參數的極大似然估計：

由上面的結論，得到fisher信息陣為

取置信度為95%，從而得到參數α的區間估計為 (-1.159 5, 4.159 5)，參數β的區間估計為 (-0.799 7, 1.799 7)，參數λ的區間估計為 (-0.784 4, 2.784 4)。

例2：定數截尾下，使用上例中的數據，r1=14，取r=19。

利用迭代方法可得到參數的極大似然估計為

由上面的結論，得到fisher信息陣為

取置信度為95%，從而得到參數α的區間估計為 (-0.035 7, 3.035 7)，參數β的區間估計為 (-0.485 6, 1.485 6)，參數λ的區間估計為 (-0.073 9, 2.073 9)。

5 結論

隨著現代科學技術的迅猛發展,人們需要在盡可能短的時間內知道產品的品質信息。本文討論了在損傷失效率(TFR)模型下，Lomax分布在簡單步進應力加速壽命試驗下的參數極大似然估計以及基于漸進正態性的近似區間估計，并用Monte-Carlo法模擬數據，計算了參數的極大似然估計和近似區間估計。得到如下結論：步進應力加速壽命試驗確實可以縮短試驗時間；在步進應力加速壽命試驗下得到的參數估計依舊很準確；基于漸進正態性的近似區間估計能夠很好的包含極大似然估計。

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[12]茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數理統計[M].2版.北京：高等教育出版社，2006.

(責任編輯 唐定國)

The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model

HE Yang1，2, WANG Ronghua1, XU Xiaoling2

(1.Mathematics and Science College，Shanghai Normal University, Shanghai 200030, China;2.School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics, Shanghai 200030, China)

This paper uses the step stress accelerated life testing for Lomax distribution to reduce the testing time and make sure of the accuracy of the data. Based on tampered failure rate(TFR) model, this paper discusses the failure mode of step stress accelerated life testing for Lomax distribution based on complete sample and type I censoring sample respectively, and discusses the maximum likelihood estimation of parameter and approximate interval estimation based on asymptotic normality. In the end, this paper produces samples by the Monte-Carlo method, and calculates the maximum likelihood estimations and approximate interval estimations of parameters under different situation by Newton iteration method.

Lomax distribution; step stress; tampered failure rate model; asymptotic normality; maximum likelihood estimation; Monte-Carlo simulation

10.11809/scbgxb2017.07.038

2017-03-10；

2017-04-10

國家自然科學基金資助項目(11671264)

和陽(1991—)，男，碩士研究生，主要從事可靠性統計研究。

format:HE Yang, WANG Ronghua, XU Xiaoling.The Failure Mode of Step Stress Accelerated Life Testing for Lomax Distribution Based on Tampered Failure Rate Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(7):176-179.

O213.2

A

2096-2304(2017)07-0176-04

本文引用格式：和陽，王蓉華，徐曉嶺.損傷失效率下Lomax分布在步進試驗下的統計分析[J].兵器裝備工程學報，2017(7):176-179.