數學研究性學習的課題開發淺探

嚴榮江

數學研究性學習課題主要是指對某些數學問題的深入探討，或者按數學思維方式對某些日常生活中和其他學科中出現的問題進行研究。要充分體現學生的自主活動和合作活動。

數學研究性學習是學生數學學習的一個有機組成部分，是在基礎性、拓展性課程學習的基礎上，進一步鼓勵學生運用所學知識解決數學的和現實的問題的一種有意義的主動學習，是以學生動手動腦，主動探索實踐和相互交流為主要學習方式的學習研究活動。

數學研究性學習的課題的主要形式是數學開放題。無論是改造舊題，還是自創新題，編制數學開放題都要圍繞使用開放題的目的進行，開放題應隨著使用目的和對象的變化而變化，應作為常規問題的補充，在研究型課程中適合學生研究性學習的開放題應具備起點低、入口寬、可拓展性強的特點。

總之，數學研究性學習的課題設計的思考要遵循以下幾點：

（1）課題要面向實際， 不宜搞空中樓閣；

（2）課題要小型短期， 不宜貪大求全；

（3）課題要難易適度， 不宜好高鶩遠；

（4）課題要便于得到指導， 不宜孤軍作戰；

（5）課題要有認知基礎， 不宜成“ 無源之水”；

（6）課題要結合學生興趣特長， 不宜盲目跟隨；

（7）課題要重視科學創新， 不宜老調重彈

中學的時候我們就學習了關于這一類問題的解題方法，下面我將結合大學有關知識，歸納解決知識探究型、學術研究型、社會調查型和創造發明型的方法。

一、知識探究型

知識探究型是研究課題中的最低層次。學生學到某一方面的知識， 在教師指定下拓寬學習范圍， 獲得學習體驗， 甚至形成學習報告。學生在教師指導下，從自然、社會和生活中選擇和確定專題進行研究并在研究過程中主動地獲取知識，以解決問題的學習活動；探究型學習是通過學生嘗試對問題解決的過程，來獲取知識、提升能力、形成價值觀的學習方式，強調對所學知識、技能的實際運用，注重學習的過程和學生的實踐與體驗。

1.求角

有一道小學智力競賽問題：現有一個19°的模板（圖3）請你設計一種辦法只用這個模板和鉛筆在紙上畫出

1°的角來。

這個問題不少學生都會抓住19°×19=361°比360°多1°的特點機智地給出解答。

作為學生“會作了”一般就完事大吉了，很少有人能夠深入地反思，因此放過了研究探索的契機。作為教師這時候應該不失時機地

發揮指導作用，引導學生去思索：

（1）現有一個17°的模板和鉛筆你能否在紙上畫出一個1°的角來？

（2）用一個21°的模板和鉛筆你能否在紙上畫出一個1°的角來？

對（1）（2）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟：如果不能。請你說明理由。

通過思索、討論，學生可以小結，具有怎樣整數度數的模板可以畫出1°的角，哪些整數度數的模板不能畫出1°的角。

于是問題的一般形式是：

請你設計一個“α°角模板”（ α°取15°～60°范圍的整數度數），用這個模板可以畫出1°的角來。

用數學語言表述為：是否存在整數x，y使得αx-180y=1

進一步一般化可得到定理：不定方程ax+by=c存在整數解（a、b為正整數，c為整數）的充分必要條件是d∣c，其中的d=（a，b）。

在這樣的學習過程中，學生可以初步學會從數學角度去認識世界，解決實際問題，掌握數學的思維方法，得做研究、做數學的美妙感受。由此我們知道，數學研究性學習與傳統的數學知識、方法的學習有著明顯的區別。

2.線面垂直的判定定理：

設aα， bα，a ∩b = O ， l ⊥a ， l ⊥b ，則l⊥α.

在日常生活中，對線面垂直的感性認識是很多的。比如說，旗桿與地面、屋梁與墻面垂直等。那么如何來判定呢？讓學生拿出準備好的三角形紙片，過定點A翻折該紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片放置在水平的桌面上（如圖1），并請學生觀察，折痕AD是否與桌面垂直？

如何翻折才能使得AD與桌面垂直呢？在動手操作的過程中，學生很容易發現：當且僅當折痕是BC邊上的高時，翻折之后折痕才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2）。這又是為什么呢？課堂的教學自然而然地進入到了一個“數學問題”的研究：因為⊥BD且AD⊥DC，這樣看來，似乎應有以下結論：AD應與桌面垂直。

那么能不能再退一步，即折痕AD與桌面上的一條直線垂直，能否保證AD垂直桌面？讓學生再動手試一試。我們將折線展平并讓它豎起來，就發現：盡管有AD⊥BD，但紙張并不能穩穩地豎立在桌面上，看來AD還要與平面上的DC垂直。

在學生自己的操作體驗中，一個抽象的數學定理直觀地展示在學生的面前，而不再是“從魔術師的帽子中突然蹦出一只兔子來”。

二、結語

對數學研究性學習的課題， 既要是學生所學數學知識的綜合與實際應用， 又要對學生探究和解決問題有較好的訓練價值。所以數學研究性學習的課題要遵循價值性、問題性、現實性、科學性和激趣性原則。

在實施數學研究性學習時，課題可以在課堂上或課外布置給學生，讓學生在課后進行探究學習，收集信息資料做研究，可一人研究，也可以幾人合作，教師可作適當的點撥指導，然后在課堂上進行交流，教師主要是做聽眾，也可發表意見、見解或提出疑問，不要追求結論的完美，要重視學生的參與過程。