數學解題中“構造法”的應用探討

梅永健

構造法，即對于難以解決的數學題目，根據題的條件和結論所含有的特征，性質等，改變思考問題的方向，從全新的角度，新的觀點來讀懂題目，了解題目，聯系知識點，進而對條件和結論之間，構造出一種以基本數學知識為支架的數學對象，讓原本模糊的知識點清晰起來，從而聯系到已知知識點，借助該構造好的數學模型，從而解決數學問題.

一、構造函數，結合方程

方程和函數之間是相互緊緊聯系的，學生對于函數比較熟悉，對于構造法也比較好展開討論.對于代數類型、幾何類型的數學題中，幾乎都貫徹了函數的解題思想，所以在進行這類題的解答中，利用構造法，將難懂難分解的幾何、代數問題轉化為簡單易懂的函數問題，進而對此題進行求解，在一定程度上增加了學生的思維能力.

例1求證：|a+b+c|/（|a+b+c|+8）≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

分析把不等式中的|a+b+c|視為一個整體，可以構造出相應的函數y=xx+8.再利用它的單調性來證明.

解構造函數y=x/（x+8），x∈[0，+∞）.

而容易證明該函數在其定義域內是單調遞增的.

又因為0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|，

所以f（|a+b+c|）

從而得|a+b+c|/（|a+b+c|+8）

≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

二、構造向量，提高效率

用向量解數學題是高中數學中較為常見的知識點，構造法中運用向量可以在一定程度上節約時間，節約學生學習的精力，對于某些不等式的結構我們通常會覺得其跟向量的數量積很相似，所以我們可以將不等式進行變形，將已有的條件轉化為數量積的形式，為解題提供更方便快速的方法，進而進行解題.

例2求函數f（x）=1-x+x+3的最大值.

分析本題的常規思路是用導數法求最值，但運算量太大.注意到（1-x）+（x+3）=4是常數，則想到向量的數量積不等式，故可構造向量來解題.

解設ON=（1，1），OM=（1-x，x+3），

所以|ON|=2，|OM|=2，

f（x）=1×1-x+1×x+3=ON·OM

≤|ON||OM|=22（x=-1時取等號）.

所以f（x）最大值為22.

三、構造數列，簡單快速

數列在高中數學中占有重要地位，對于已知數列的首項及相鄰兩項的遞推關系，常可以用構造數列法進行解答.

例3設a1=1，an+1=2an+3×（1/2）n+1，求an.

分析遞推式像等比數列，但又多了一項，聯想到等比數列，不妨構造出新的等比數列來求解.

解假設遞推式可化成等比數列的形式

an+1+p（12）n+1=2[an+p（12）n].

整理得an+1=2an+（2p-p2）（12）n.

與題設遞推式對照，可知2p-p2=32，得p=1.

故新數列{an+（12）n}是公比為2，首項為a1+12=32的等比數列.所以an+（12）n=32×2n+1，

從而an=3×3n-2-2-n.

了解過考試的同學們應該都知道，高考側重于人才的挑選，并不是死記硬背可以考出好成績的，它注重于對學生進行學習能力、思維能力、創造能力的考查，所以高考題大多都是源于課本，但對于原有的知識又有了進一步的拓展.所以對于解答數學題的過程中，學生不應該看到題感覺難而放棄對題進行解答，應該立足于知識點，拓展思路，充分地運用構造法，可以在一定程度上改變苦無思路的情況.難點，有方向地進行攻克以及學習.以高中數學知識中的對稱函數進行分析，學生成立小組，教師不限定具體函數形式，讓學生進行自我摸索，確定對稱函數，通過幾何畫板，來具體地展示函數的對稱操作，對對稱軸進行限定以及進行確定，小組進行詳細的講解，包括小組制作這一幾何畫板的思路以及對于這一知識的理解等，能夠實際地鍛煉學生的合作意識以及學生的總結能力.

總之，幾何畫板在高中數學實驗教學中的應用效果較為突出，應用價值較高，具體表現為能夠具體化高中數學實驗教學內容，以及提升學生對于知識的理解深度，以及學生對于高中數學知識的學習主動性，能夠發展高中數學實驗教學的質量以及效率，達到在預期時間內完成教學目標.