用函數關系求解初中數式規律型問題探索

梁翔

【摘要】本文闡述了建立函數關系式求解初中數式規律型問題的方法，教師在指導學生解答數式規律型問題時，要為學生創造認知沖突以加深學生的印象，循序漸進地教學，及時幫助學生鞏固所學知識，提高學生能力。

【關鍵詞】初中數學 函數關系

數式規律型問題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06A-0122-02

一直以來，全國各地的中考試題中都出現探究規律性的問題，探究規律性的問題考查了初中生的數學基礎知識、基本技能、應用能力等，是中考命題中不可缺少的部分；探究規律性問題的特點是：通過對問題的觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列的探究活動，得到問題的結論。這類問題，因其獨特的規律性和探究性，對學生分析問題、解決問題的能力提出了很高的要求；對許多考生而言，完成該類問題的難度較大，能力一般的學生基本選擇放棄；此類考題編排順序一般比較靠前，考生一旦受挫就會影響應考情緒，繼而影響到數學學科的成績，甚至影響學生的總體成績。如何提高探究規律性的問題的教學有效性是畢業班指導教師都感到困惑的問題。

探究規律性問題常見的類型有：（1）數式規律型；（2）圖形變化規律型；（3）坐標變化規律型；（4）數形結合規律型等。規律性問題是有規律可循的，數式規律型問題中存在著函數關系。近幾年來，筆者嘗試通過求函數關系式的思路來求解規律通式并將其運用在教育教學中，筆者所指導的學生在中考中應對規律性問題時得分率在90%以上，特別是數式規律型問題基本上沒有失分，在此將探究數式規律型問題的教學方法的感受與大家分享。

筆者在教學時，首先給學生展示了例1（2015·天津北辰區；一模）：如圖1，用火柴棒拼成一排由三角形組成的圖形；若拼成的圖形中有n個三角形，則需要火柴棒的根數是（ ）

圖1

A. n+2 B. n+3

C. 2n-1 D. 2n+1

在平時的教學中，教師會用學生熟悉的從特殊到一般的歸納方法來解決這類問題，具體的方法如下：

觀察圖形中的數量關系，列出表格，如表一：

表一

通過觀察兩個變量的關系、從數理關系歸納和驗證得到結論：當有n個三角形時，火柴棒的根數為2n+1，故答案為：D。

該方法對學生的已有認知而言是比較抽象的，學生掌握的難度也比較大。如果用求函數關系式的思路來解決此問題，學生理解起來就會簡單和直觀多了。方法如下：

（1）確定變量：該問題有兩個變量，即三角形個數和火柴棒根數，設三角形個數為自變量x，火柴棒根數為函數y；

（2）取特殊點：

當x=1時，y=3，即（1，3），

當x=2時，y=5，即（2，5），

當x=3時，y=7，即（3，7），

當x=4時，y=9，即（4，9）；

（3）確定函數類型：通過描點、連線，觀察圖象發現該函數屬一次函數類型，如圖2；

（4）建立y與x的函數關系，設：y=kx+b；

（5）用待定系數法求得關系式：y=2x+1；

（6）檢驗關系式，確定當有n個三角形時，火柴棒根數為：2n+1；故答案為：D。

這種解決問題的方法是在利用從特殊到一般的歸納方法的基礎上融入了函數關系式的思路，除了比較直觀、簡單易懂外，還可以幫助學生建立解決此類問題的模型，培養學生的函數思想與建模思想。

接著，筆者給學生出示了例2（2016·重慶巴蜀）：如圖3，每個圖形都由同樣大小的正方形按照一定的規律組合而成，其中圖形①的面積為6cm2，圖形②的面積為18cm2，圖形③的面積為36cm2，…，那么圖形⑥的面積為（ ）

A.84cm2 B.90cm2

C.126cm2 D.168cm2

筆者首先讓學生使用他們比較熟悉的用從特殊到一般的歸納方法來解決此問題，學生大多列表如下：

但是學生很難歸納出圖形面積的變化規律，就算是筆者也很難直接觀察表格得出結論，應試當中的學生更是難以解決該問題。

筆者在教學實踐中發現：當兩個變量之間沒有明顯的和、差、倍數關系時，若想直接通過觀察數理關系歸納出結論非常困難，但是如果利用建立函數關系模式來求解就容易得多了。

于是，筆者建議學生使用例1中的構建函數關系式的方法求解例2，并適時給予學生提示，具體解決過程如下：

（1）確定變量：該問題有兩個變量，即序數和圖形的面積，設定序數為自變量n，圖形的面積為函數S；

（2）取特殊點：

當n=1時，S=6，即（1，6）；

當n=2時，S=18，即（2，18）；

當n=3時，S=36，即（3，36）；

當x=4時，S=60，即（4，60）；

（3）確定函數類型：通過描點、連線，觀察圖象發現該函數屬二次函數類型，如圖4；

（4）建立函數關系：設S=an2+bn+c；

（5）用待定系數法求得關系式：S=3n2+3n；

（6）檢驗關系式，確定第n個圖形的面積為：3n2+3n；

則n=6時，S=126，故答案為：C。

在此教學過程中，筆者首先為學生創造了認知沖突——讓學生意識到用從特殊到一般的歸納方法難以得出例2的結論；接著，筆者引導學生使用建立函數關系式的方法解答例2，不僅求解過程簡單、快速，而且學生容易接受。該教學過程是成功的，既讓學生掌握了解題方法，又培養了學生的函數思想、舉一反三的能力。

筆者趁熱打鐵，給學生出示了練習3（2015·江蘇江陰）：觀察下面一列數：1，2，3，4，5，6，7，…，將這列數排成下列形式：記aij為第i行第j列的數，如a23=4，那么a87是 .

在巡視時，筆者驚喜地發現大多數學生已經掌握了用建立函數關系式求解規律問題的方法，并且還產生了不同的解題方法，具體如下：

方法一：先求ann的通式（如下方框內的數）：

用類似例2的方法可求得通式：ann=n2-n+1，

則a88=82-8+1=57，由距陣中橫向數列的特征可得：a87=56。

方法二：可以先求出an（n-1）的通式（如下圖方框內的數）：

用類似例2的方法可求得通式：an（n-1）=n2-n，

則a87=82-8=56。

當然，每種規律性問題都存在其獨特性，并非所有的規律性問題都可以用求函數關系式的思路來求解規律通式；但因一些數式規律型問題存在某種函數關系，可以用建立函數關系式的思路來求解規律通式。通常可構建解決這類問題的模型：設序數為自變量，序數對應值為函數；取特殊值，描點、連線，確定函數類型；求出關系式則可得規律通式；通過檢驗來確定通式的準確性。

教師在平時的教學中應當多關注學生，了解學生的難點所在并有針對性地進行訓練，幫助學生突破難點，提高學生的能力。

（責編 劉小瑗）