發掘隱性資源，提升高中數學教學的品質

姜洪超

[摘 要] 高中數學教師不能在課堂上照本宣科，我們的教師要善于發掘教材中的隱性資源，從而更好地促進學生發展. 本文從數學教材中隱性資源的內涵出發，聯系具體案例，探討了隱性資源在實際教學中的滲透.

[關鍵詞] 高中數學；隱性資源；案例分析

眾所周知，只會照本宣科的教師不是一個稱職的教師，我們的教師要善于對教材進行深度發掘，發現其中的隱性資源，從而更加有效地促進學生的發展. 高中數學教學中，我們如何做到這一點呢？以下是筆者的思考.

[?] 數學教材中隱性資源的內涵

筆者認為，數學教材的隱性資源是教師在理解和分析教材的基礎上，對潛在知識進行拓展研究，并提煉而成的. 隱性資源是相對于顯性資源來講的，從當前的高中教材來講，顯性資源就是教材上有關概念和定理的推導和講解，以及相應的習題資源；隱性資源則是對知識的形成、發展以及實踐起到潛在作用的數學思想和方法，當然還包括數學的美學價值.從知識的形態來講，顯性資源主要是紙面上的內容，或是教材通過引導讓學生直接總結出的內容；隱性資源則是以教材內容為基礎，需要學生在學習過程中進行體驗的過程以及領悟的思想.

在高中數學教學中，一切有利于學生數學知識發展和數學思想培養的潛在因素和條件都應該是數學課程的隱性資源. 教師要將其滲透進數學教學，就必須通讀并理解教材，厘清知識間的來龍去脈，把握知識的本質，領會其中的教育功能和人文價值.

[?] 案例分析：球的表面積

下面，筆者以“球的表面積”的教學為例，介紹一下如何發掘其隱性課程資源，并將其運用于教學.

1. 教材分析

從顯性角度來看，球的表面積公式出現在人教版高中數學A版必修二1.3.2中的第二部分. 教材首先通過分割求積的方式對球的體積公式進行推導，并通過對該方法的類比，對表面積公式進行探究，即將球體分割成小型錐體進行求和，再結合體積與表面積的關聯進行推導，從而獲得表面積的公式，這其中滲透著微元與極限的思想. 教材編寫者為了幫助學生以最為簡便的方式進行理解，同時又充分保留數學教材的邏輯性，為學生呈現出最為簡潔的證明和推導，但是卻回避介紹數學家艱辛的探索過程.

從隱性角度來講，本課應該力求完善歷史史料，為學生還原科學家的探索研究過程，讓學生在領會球的表面積公式推導的同時，也能深刻感悟公式的緣起，從中領會“化整為零、化零為整”的研究方法. 此外，教師還要有意識地引導學生通過觀察來探索事物之間的內在關系，并從中積累發現問題、解決問題的能力，由此來提升學生理性思維的素質.

2. 教學目標分析

從課程標準出發，我們可以從三個維度來分析本課的教學目標.

（1）知識與技能維度：讓學生了解球表面積公式的推導過程；理解球的表面積公式.

（2）過程與方法維度：通過推導表面積公式的過程，讓學生初步領會微元和極限的思想，并對“分割→求和→化簡”的流程形成較為清晰的認識，為后階段導數的學習奠定基礎；讓學生體驗由合情推理到邏輯演繹的過程，從中體會數學分析的嚴謹性，對學生的邏輯推理能力和空間想象能力進行培養.

（3）情感態度與價值觀：讓學生通過對數學學史的研究，培養他們發現問題、解決問題的信心；通過對數學家探究真理過程的體驗，感悟前人科學探索的心路歷程，由此深刻品味數學思維和方法的獨特美感.

3. 重難點分析

本課的教學重點是引導學生了解并推導球表面積公式的思想方法；難點是讓其領會“分割→求和→化簡”分析過程中的數學思想.

4. 教學過程

（1）復習導入，提出問題

教師引導：通過前面階段的學習，我們已經掌握圓錐、圓柱、圓臺的表面積求解方法，我們是否可以通過相同的方法對球的表面積公式進行求解呢？

設計思路：在提出問題的同時，也引導學生尋找知識之間的關聯性，啟發他們通過知識的相似性來探求問題的解決方案.

（2）實驗探究，合情推理

實驗設計：將一根長繩繞著半球的大圓表面走一圈，以恰好能將大圓面鋪滿為宜，將所用的繩子截取下來. 然后將所截取的繩子鋪滿除掉大圓面的半球表面，如果繩子尚有多余，則繼續鋪，直到將繩子全部用完.

在教師的引導下，學生相互協作，細心操作，最終有以下實驗結果，截取的繩子恰好在半球面上鋪好了兩層，從而可得除掉大圓面以外的半球體表面的面積正好是大圓面積兩倍，由此形成猜想：S球=4πr2.

設計思路：實驗不僅是物理、化學等學科的發展基礎，它同樣對數學學科的發展能起到推動作用，讓學生在實驗操作中感悟知識的形成過程，這有助于學生養成“做中學”的習慣.

（3）回顧歷史，驗證猜想

教師引導：在日本數學發展史上，人們將立方體視為“方珠”，球體則是“圓珠”，它們雖然在外形上存在差別，但是本質卻是一致的. 因此，日本的磯村吉德從類比推理出發，對圓的表面積進行大膽的推導，過程如下.

日本數學研究者是如何想到上述類比方法的呢？其關鍵就在于他們關注了立方體體積與表面積的關系，并將立方體和球體都視作“珠”，從而建立相似關系.這樣的推算過程是否成立呢？

教師再引導學生從分割法的角度來求解表面積：一個立方體可以其中心為頂點，將其平均分成六個棱錐，若該立方體的棱長為a，棱錐的高則為，其底面積則對應立方體的正方形表面，因此圍繞立方體的體積有以下運算：

在此分割思想的引領下，研究者嘗試將球體分割為無數個將球心作為頂點、以局部球面視作底面的小型錐體，如果分割所形成的錐體足夠小，則錐體的高即近似等于球體半徑，進而可以直觀地發現球的表面積與其體積之間的關系，有如下推導：

上述微元處理方法簡練而直觀，后來很多數學家也是采用此種方法求解出其他很多幾何體的表面積.

設計思路：分割求和的方法正是教材中所提供的體積求解方法，其中涉及微元與極限的思想. 在對球體表面積的公式進行求解時，教材沿用這種一脈相承的方法，的確存在一種延續性，可謂是“趁熱打鐵，簡便易行”. 從數學思想的教學來講，這一部分的難點就在于對微元與極限思想的一種滲透，教材止步于簡練的證明過程和結果呈現，忽視了對數學家探索過程的介紹，這實際是一種隱藏在背后的課程資源，教師要善于結合數學史，將其發掘出來，并以此為載體，將數學家不斷求索的過程轉變為學生的思維方法提升過程.

（4）作業設計，提升能力

問題：類比于上述所采用的微元與極限的思路，我們可以嘗試將球的表面分割成無數個等腰三角形，對所有等腰三角形的面積進行求和處理，以此來求解圓的表面積. 有人按照這一思路進行以下處理：將球分成上下兩塊，并進行了如圖1所示的分割.

最后求得球體表面積計算公式為S=π2r2<4πr2，請思考這一推導過程存在什么問題？

設計思路：對學生的方法學習也提出舉一反三的要求，讓學生通過這一處理過程的辨析來提升他們數學思維的靈活性和嚴謹性.

5. 課堂小結

本課先通過復習來提出問題，再依托于實驗來幫助學生形成猜想，并在數學歷史的學習中，感悟前人運用類比思想推導球體表面積公式的過程，當學生對微元和極限的思想有所領悟之后，教師再引導學生按照教材的方法來進行更加嚴謹的分析和推理. 這樣的教學設計基于教師對隱性的課程資源進行了充分的發掘，從而改變單刀直入的教學方式，讓學生立足實驗、結合數學史，經歷知識的形成過程，這不僅有助于學生對數學知識形成認識和理解，更重要的價值在于這樣的處理有助于學生的方法習得和思想培養，這才是我們數學教學的更高追求.