高中數學教學中數學知識的有效表征

唐亞平

[摘 要] 無論是課程改革，還是有效教學，抑或核心素養，都離不開一個最根本的基礎，那就是學科知識在學生大腦中的有效記憶. 高中數學教學中需要研究數學知識在學生的記憶中是如何表征的. 研究表明，不同類型的數學知識在學生的記憶中存在著網絡模型、比較模型、命題模型等方式，研究這些方式，對實際教學有顯著的意義.

[關鍵詞] 高中數學；數學知識；有效表征

從學生學習機制的角度來研究學習，無法回避的一個重點就是學生所習得的知識在記憶中是如何表征的. 這是學習心理研究的一個重點問題，據說研究歷史已經超過百年. 在有效教學的背景下，有效的一個重要含義就是學生在記憶學習內容時，能夠有效地將這些知識表征出來. 在課程改革的背景下，教師追求自主、合作、探究的學習方式，其實是為了讓知識在學生的記憶中能夠更好地、更清晰地被表征. 而在學科核心素養的教學理念指引下，我們說為了讓學生通過學科學習獲得一些“關鍵品格”與“必備能力”，表面上看是為了讓學生在新的問題情境中能夠更好地表現出某種素質與能力，而實際上需要看到的是這些能力的支撐，離不開知識在記憶中的良好的表征.

這個時候再回過頭來看知識的表征，其實也就明白了其就是指學生在學科學習中所獲得的知識在大腦中是以什么形式、什么樣的方式存在的. 高中數學一直以所謂的“難”著稱. 何為難？通俗點說就是理解難、運用難，而從學習機制的角度來看，其實也就是表征難. 因為學生對于所學習的知識難以在記憶中進行有效的表示，自然就很難進行有效的理解與運用. 也因此，高中數學教學的一個重要任務，其實就是要讓知識可以在記憶中進行良好的表征. 根據教育心理學家研究的成果，不同類型的知識在記憶中的表征方式是有所不同的. 本文筆者嘗試對高中數學中不同類型的知識如何進行有效表征作一個探究.

[?] 數學概念的網絡模型表征

數學概念是數學學習的基礎，到了高中階段，學生所需要學的數學概念非常多，數學概念之間的邏輯性也非常強，很多時候數學概念的形成都是依據其他概念根據一定的邏輯關系推理得出的，因此數學概念在學生的記憶中，更多呈現出的是一種網絡特征. 而實際教學中，很多學生就是因為這種網絡特征不夠明顯，使得他們對數學概念及其關系的理解顯得比較凌亂，從而影響了對這些概念的記憶與運用.

舉一個簡單的例子. 學生進入高中之后數學學習的第一個概念就是“集合”，集合在高中數學的概念體系中呈現出了比較復雜的網絡特征（篇幅限制，這里不以網絡圖的形式呈現，日常教學中用大括號等方式表現出來的集合與其他概念的關系，也可以是網絡模型表征的一種方式）：集合作為一個大的概念，其包括“集合與元素”“集合與集合”兩層關系，而“集合與元素”中學生需要理解集合與元素的屬于或不屬于關系，元素的確定性、無序性與互異性，有限集、無限集與空集，集合的列舉表示法、描述法、圖示法、區間法等；“集合與集合”中則需要讓學生認識到“關系”與“運算”兩大點，其中“關系”涉及子集、真子集、相等的集合等，運算則涉及交集、補集、并集等. 這個網絡模型中，每一個最小的組成單位還需要有實例的支撐，這樣建立起的網絡認識，那學生對集合的概念的建構就一定會是成功的.

但這里很顯然有一點要注意，那就是用文字或圖表或框架圖表示出來的只能說是知識結構，是集合及其相關概念（當然上面的網絡圖還可以向函數概念延伸）的一種有形的表示，而這種有形表示并不能代表學生大腦中的認知結構，也就是說學生記憶中對集合及相關概念的網絡結構模型是什么樣子，這才是教學中的關鍵. 研究表明，學生記憶中的結構是依賴于上述知識網絡而存在的，這就提醒數學教師，在教學中要通過引導學生構建數學概念網絡模型的方式，讓學生對所學的數學概念及其聯系變得更為清晰化. 在這里，有一個很好的方法值得運用，那就是“思維導圖”. 思維導圖最大的價值在于其能夠根據學生的思維發展，用簡單的圖形網絡將思維的結果呈現出來，在思維導圖形成的過程中，學生的思維占據著重要的方式，而當學生所構建出來的思維導圖越來越清晰、越來越簡潔時，就意味著學生記憶中的網絡模型很清晰了. 在這種情況下，無論是新概念的學習還是數學概念的運用，學生在從記憶中提取的時候，都將更為方便、快捷.

[?] 數學實例的特征比較表征

高中數學要想學好，一個重要的原則就是無論是數學概念的構建，還是數學規律的理解，都需要一個實例支撐. 比如說上面提及的集合概念，那學生在理解集合概念的時候要能夠自然想到一些基本的集合（可以是生活事例，也可以是數學事例）；又如在學習圓錐曲線的時候，提到圓錐曲線，學生就要能夠想到具體的雙曲線、拋物線、圓等例子，大腦里要能夠迅速地浮現用一個平面截圓錐面的表象. 正是這個表象事例，支撐了學生對圓錐曲線這個復雜概念的理解，當然也可以說如果沒有這些實例的支撐，那么學生對圓錐曲線的理解只能是機械記憶性質的，這個時候網絡模型圖記得再清晰，作用都不大.

研究者在對數學實例對數學學習起促進作用的研究中發現，數學實例在記憶中的表征更多的是以一種比較模型出現的. 比較原本是一種基本方法，人們說“不怕不識貨，就怕貨比貨”就是生活中最常見的一種比較. 到了高中數學學習的過程中，比較也是常用的方法之一. 而當將比較這一方法轉換成比較模型之后，人們才發現其原來能夠發揮更大的作用——讓數學事例在學生的記憶中進行更好的表征. 研究者指出，在高中數學教學中，學生對很多數學概念的理解與記憶是需要實例支撐的，而這個實例要想真正進入學生的長時記憶，那是需要對這些實例進行加工的，加工的方式就是比較. 通過比較形成的模型可以被稱為比較模型. 筆者以為，盡管比較模型這個概念看起來比較新穎，但在實際教學中其實運用得是比較多的，只是那個時候不知道自己在用比較的方法建立比較模型以促進學生對數學概念進行更好的表征而已. 比如說在學習集合概念的時候，教師通常都要提供三個以上的集合事例，讓學生去分析這些事例的共同特征，從而得出集合的定義. 在這里，學生不僅要對這些事例進行比較，其實還需要對生活或數學中的一些非集合的事例進行分析與比較，只有經過這種比較之后，學生才會清晰地發現集合所具有的特征. 于是，這些經過比較后的事例就可以成為支撐學生對集合概念理解的重要處，比較模型也就出現了.

進一步的研究表明，在高中數學概念的構建中，很多時候比較模型要比冰冷的數學語言描述更有用，尤其是在新知識的初學階段，用比較的方法對具體的事例進行思維加工，使之發揮比較模型的作用，能夠更好地讓學生的數學知識在記憶中獲得表征.

[?] 數學判斷的命題模型表征

這里的數學判斷是一個寬泛的概念，主要是數學中的一些定理、規律、定律等的綜合性描述. 作為一個判斷，其往往是通過嚴格的語言格式呈現的. 實際教學中，學生對這些語言往往表現出一種自然而然的拒絕，原因就在于數學語言系統與學生的生活語言系統之間存在難以銜接的地方，有的時候甚至有一些沖突. 反之，如果教師在這一塊下足功夫，讓學生的生活語言能夠很好地容納數學語言，那數學知識就可以得到更好的表征，數學學習自然也就會輕松一些.

那么，好的方法是什么呢？根據教育心理學家的研究成果，這就需要通過命題模型的方式，來促進判斷類的數學知識在學生的記憶中進行表征. 所謂命題模型，需要建立的最重要的理解就是：要想方設法讓學生在回憶起某個重要的數學判斷的時候，不是機械地背誦出原句，而是對其中的一些關鍵做出清晰的理解. 從教學經驗的角度來看，這是強調對關鍵詞的記憶；從學習心理的角度來看，這是提醒學生要抓住數學判斷中的“思想或命題”，也就是說要讓學生能夠回憶起“命題結構”而不是“句子結構”，這就是人們所說的理解記憶與機械記憶的區別.

例如，我們在讓學生回憶拋物線的定義的時候，應當將重心放在學生以拋物線定義中的“定點”“定直線”“距離相等的（點的軌跡）”的認識上，有了這三個關鍵詞，再加上上面第二點提到的比較模型表征方法的運用，就可以在學生的記憶中形成一個清晰的“到一個定點F與一條定直線l（點F不在l上）的距離相等的點的軌跡”，而定點與定直線的意義也同樣可以清晰起來. 實際教學中要做到這一點并不困難，只要教師在教學中多一個小小的動作：隨著對這個定義的描述，教師加重語氣強調“定點”“定直線”“距離相等的（點的軌跡）”，同時畫出圖形，學生自然就可以形成這樣的表象.

總的來說，高中數學教學中確實要重視數學知識是怎樣進入學生的記憶的，忽視了這個根本，再多的教學方式的變革，再多的核心概念的敘述，都無法發揮作用.