高中數學課堂開展微型探究學習的教學實例與反思

吳蕾

[摘 要] 數學課堂微型探究教學是因數學教學內容與課堂時間的限制，不能大規模地開展探究教學而衍生出的新型教學方式. 按探究的過程來看，微型探究學習一般是部分探究，可以理解為在學習的發現問題、制定方案、實施方案、獲得結果、表達與交流的完整探究環節中，只需完成其中的一個或多個步驟，其他步驟則以教師講授為主，以達到學生自主建構知識與教師講授的統一.

[關鍵詞] 高中數學；微型探究學習；誘導公式

北京師范大學教育學院的李亦菲教授指出：“所謂微型探究活動，是指教師為完成學科教學任務，利用課堂教學的某個環節或課外時間開展的、短時間的探究活動.微型探究活動通常不需要經歷發現問題、制定方案、實施方案、獲得結果、表達與交流的完整探究環節，一般是在某個探究環節開展的探究活動，稱為‘局部的探究活動.”本文所指的“數學課堂開展微型探究學習”就是基于這種理論提出的. 在不同的環節添加微型探究學習活動，學生的接受程度不同，所以效果不同. 考慮在課堂上完成“提出問題”的環節的時間局限性及微型探究學習的靈活性，在數學定理法則課加強“實施方案”環節的同時，重視在“分析與假設”與“評價與結論”這兩個環節添加微探究活動，以期提高學生在這兩個環節的探究水平以及課堂整體的探究水平.

[?] “誘導公式”教學設計

1. 教學目標

（1）理解誘導公式的推導過程；

（2）會正確運用誘導公式進行有關計算、化簡；

（3）了解、領會把未知問題化歸為已知問題的數學思想，提高分析問題、解決問題的能力.

2. 設計思路

誘導公式教學中的微型探究學習的設計，注重以下幾點：

（1）任意角的三角函數值的求法的探究以及用誘導公式求值的一般步驟的探究，主要在“評價與結論”環節開展；

（2）終邊相同、終邊關于x軸對稱、終邊關于y軸對稱的三角函數值的關系的微型探究，主要在“分析與假設”“評價與結論”環節開展；

（3）由公式（二）、（三）能推導出公式（四）及例題的求解，主要在“實施方案”及“評價與結論”兩個環節開展.

3. 教學過程

（1）復習回顧

師：任意角的三角函數是怎樣定義的？

（2）新知探究

微型探究設計一：

探究問題1：如何求任意角的三角函數值？具體地，如何求的正弦值、余弦值？

設計意圖：由復習任意角的三角函數的定義，為新知識的學習打下基礎. 在“評價與結論”環節開展求的正弦值及余弦值的微型探究活動，引導學生進一步思考，激起學生的興趣，為后續的探究做好知識上、方法上和情感上的準備.

微型探究設計二：

探究問題2：如果兩個角的同名三角函數值相等，他們的終邊一定相同嗎？你能找出和的正弦值相等的角嗎？

探究問題3：回顧一下，剛才我們是怎樣獲得這組公式（二）的？

設計意圖：主要在“分析與假設”“評價與結論”環節開展采用教師引導的微型探究學習，使學生探究得出公式（二）.同時在引導探究的過程中，讓學生感受從特殊到一般的思想方法.

微型探究設計三：

探究問題4：剛才我們研究了兩個角的終邊關于y軸對稱的三角函數值的問題，你還想研究哪些問題？

探究問題5：如果兩個角的終邊關于x軸對稱，你有什么結論？兩個角的終邊關于原點對稱呢？

設計意圖：終邊關于y軸對稱、終邊關于x軸對稱的三角函數值的關系的微型探究，主要在“分析與假設”“評價與結論”環節開展，該微型探究活動的目的之一是想讓學生自己提出想要研究的問題，用元認知的提示語引導學生提出問題，使學生真正進入數學思維活動中去.考慮到不同水平的學生的差異，設置了探究問題5，明確了探究的方向，讓每個學生都能體會到探究知識的樂趣.

微型探究設計四：

這幾組公式之間有何聯系？由公式（二）、（三）能推導出公式（四）嗎？

設計意圖：由公式（二）、（三）推導出公式（四）這一探究活動，主要在實施方案”及“評價與結論”兩個環節開展，引導學生在探究中反思，完善思維結構，把學生的思維活動推向了更高的境界，使學生全面深刻地理解知識，增強學生的整合概括能力.

（3）問題解決，體驗應用

微型探究設計五：請同學們歸納一下利用誘導公式求值的一般步驟.

設計意圖：本環節是得到誘導公式之后，對誘導公式的應用.通過教師的引導，使學生嘗試去應用誘導公式解決問題.在“評價與結論”環節開展微型探究活動，使他們體會在誘導公式應用的過程中，學會從未知到已知的化歸思想，并由此總結出解題的一般步驟，幫助學生養成良好的解題和反思的習慣.

（4）回顧總結，思維升華

本節課你學到了哪些數學知識？學到了哪些數學思想方法？還有哪些希望進一步了解的內容？

[?] 《誘導公式》部分課堂實錄與分析

以上案例在課堂教學實施過程中，筆者特別關注了以下幾個微型探究學習的環節.

1. 探究與α角終邊相同的角的三角函數值

師：怎么解釋你的想法？

生2：因為終邊相同，交圓周于同一個點P，坐標是相同的，由三角函數的定義可知三角函數值相等.

師：請展示你得到的結論.

生2：……

以上的探究活動，是在學生自行思考，并在教師的引導下，學生回到定義去解決問題，逐步得到公式.

2. 探究與α角終邊關于y軸對稱的角的三角函數值

師：結論非常正確.反思一下我們得到以上兩組公式的研究思路是怎樣的.

生4：角的終邊在圖形上都表現為重合或對稱的關系，在終邊與圓周的交點的坐標上有著相等或相反的數量關系，從而得到它們三角函數值之間的關系.

生5：我想補充一下，我們研究的角都是先取了一個銳角，然后再到任意角都成立.

師：大家總結得都非常好，我用一張思維導圖（略）總結一下大家的想法.

學生在以上的探究活動中，主體意識被喚醒，學生在討論及與教師交流的過程中，能夠發表不同的意見，接納各種不同的觀點，課堂氣氛活躍，創設了寬松、民主而又有競爭性的學習氛圍.

3. 探究與α角終邊關于x軸對稱及關于原點對稱的角的三角函數值

師：剛才我們研究了兩個角的終邊關于y軸對稱的三角函數值的問題，你還想研究哪些問題？

讓學生分組討論、探究.

師：請各組展示你們的討論結果.

組1：我們組研究了與α角終邊關于x軸對稱的角……

組2：我們組研究了關于原點對稱的角……

在以上探究過程中，學生自己擬定探究的題目，自行確定探究的方向與思路，類比前兩組公式的探究方法，共同討論其他情況的角的三角函數值的特征.學生在這一過程中，不僅提高了思維水平，同時還深刻領悟了知識背后的數學思想方法，促進了其理解數學的本質，從而逐漸學會利用數學思考問題，進一步增強創新意識.

[?] 教學反思

1. 在定理、公式、法則中進行微型探究，有助于挖掘思維潛能

在高中數學定理、公式、法則中進行微型探究的設計中，教師要為學生創造自主探究的機會，注重為學生的探究而設問，使學生經常處在獨立思考、自主探索的平臺上；鼓勵學生在學習數學知識、技能、方法及思想的過程中自主發現問題、提出問題并加以研究，使學生在體驗數學研究的過程的同時，挖掘出思維潛能，進一步培養發現、提出、解決數學問題的能力.教師的有效問題設置，使學生不斷地明確探究方向，調整探究策略，從而正確地構建數學知識體系，使他們參與并體驗數學知識的獲得過程，建構起對數學的新的認識，并培養數學探究的能力.

2. 避免開展微型探究的單一化

課堂教學中開展微型探究同樣受多方面的因素影響，因此，課堂微型探究學習的方式不可能千篇一律. 在具體探究時不必追求每個要素的完整，在提出問題、分析與假設、實施方案、評價與結論這四個階段中，根據學習內容的目標及重難點，采用多種方式相結合的辦法，突出探究的重點. 將微型探究教學與整個教學過程相結合，既可防止探究形式的單一化，也可以有效地提高學習的效率.