5自由度主動磁懸浮軸承的積分滑模變結構控制

侯勇，王磊

（天津科技大學 電子信息與自動化學院，天津 300222）

主動磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearings，AMB）系統是一個多輸入多輸出、非線性強、耦合程度高的復雜系統，其運行的可靠性和穩定性在很大程度上取決于系統的控制方法，采用常規的PID控制理論不能很好地滿足系統對穩定性和動態特性的要求［1-4］。采用PID與其他控制策略的結合，雖然精度高，但控制系統設計復雜。滑模變結構控制具有對內部參數和外部擾動不敏感、魯棒性好等優點，將其應用于主動磁懸浮軸承系統的控制，可以有效提高系統的運行性能。文獻［5］針對主動磁懸浮軸承系統采用了滑模變結構控制，屬于單自由度的分散控制，將其應用于多輸入多輸出系統時，依然存在靜態誤差大等問題。文獻［6］應用積分滑模變結構控制實現了徑向4自由度主動磁懸浮軸承的控制，但沒有考慮軸向的控制，如進行包含軸向自由度的5自由度控制時，則需2套獨立的控制系統，增加了控制器的數量，使實際應用更為復雜，而且忽略了傳感器安裝位置導致的耦合問題，會使系統達到穩態的時間增長。

分析5自由度主動磁懸浮軸承系統因傳感器位置產生的耦合問題，推導并建立輸出解耦的主動磁懸浮軸承狀態方程，在此基礎上研究多輸入多輸出積分滑模變結構控制方法，采用一套控制器實現了系統的5自由度控制。

1 5自由度主動磁懸浮軸承狀態方程

主動磁懸浮軸承的轉子共有6個自由度：3個平動自由度和3個轉動自由度，其中轉子繞軸向轉動的自由度不受軸承控制器控制，而其余的5個自由度則需磁懸浮軸承控制器控制。5自由度磁懸浮軸承系統結構如圖1所示。

圖1 5自由度主動磁懸浮軸承系統結構圖Fig.1 Structure of Five-DOF AMB system

根據剛體動量定理和動量矩定理以及磁路分析可得到轉子狀態方程［7-9］

式中：05×5為5階零矩陣；I5×5為5階單位矩陣；m為轉子質量；Kxx，Kyy，Kzz為磁軸承的位移-力系數；Kix，Kiy，Kiz為磁軸承的電流 -力系數；J為轉子繞x，y軸的轉動慣量；Jz為轉子繞z軸的轉動慣量；ω為轉子轉速；la，lb為轉子質心到徑向磁軸承中心的距離；xa，xb，ya，yb，zc為轉子位移；ixa，ixb，iya，iyb，izc為磁軸承線圈的控制電流。

由于傳感器與徑向磁懸浮軸承安裝于軸向不同位置，通常為非共點安裝，使得同一徑向平面的2個自由度的輸出存在耦合，即傳感器輸出耦合。由于控制點和測量點不在同一位置，以測量點的位移偏差作為控制量會對系統的動態過程產生影響，在控制中增加對該耦合現象的解耦處理，可以有效改善系統的動態過程。

在剛性轉子的情況下，可以通過一定的幾何變換實現輸出解耦［7］。

根據傳感器和徑向軸承的幾何關系作如下代換

式中：T為轉換矩陣；xsa，xsb，ysa，ysb，zsc為轉子在傳感器位置發生的位移；lsa，lsb為轉子質心到徑向傳感器中心的距離。

輸出解耦的狀態方程為

2 積分型滑模變結構控制器的設計

滑模變結構控制是在狀態空間設計一個超平面，使其滿足可達性，即不管系統狀態初始的位置在何處，運動的軌跡都指向超平面。系統一旦到達超平面，控制作用保證系統沿超平面趨向系統原點，這一沿超平面趨向原點的過程稱為滑動模態。在這種滑動模態下，系統特性和被控系統參數與外部干擾無關，只取決于所設計的超平面［3］。

滑模變結構控制器的設計主要分為2步：1）確定滑模切換函數；2）設計控制律，保證在切換面上出現滑動模態。

文獻［10］提出了一種多輸入多輸出的變結構控制策略，文獻［6］依據該策略，針對4自由度的主動磁懸浮軸承系統設計了一種多輸入多輸出的積分型滑模變結構控制器。在此基礎上，增加軸承的自由度，并對狀態方程進行解耦，使得控制器更加符合實際的系統控制要求。

2.1 滑模切換面設計

選取滑模切換面為

式中：rd為給定輸入；S1，S2為5×5的切換面系數矩陣；KI為積分控制的增益矩陣。

由于被控對象是多輸入多輸出系統，在進行極點配置時較為復雜，該設計保證系統到達滑動模態時，可以通過調整切換面的系數S1，S2，KI對系統的閉環極點進行優化配置［11］；而積分項的引入對于克服擾動有很大的幫助。因此，可以有效地提升系統穩態性能。

2.2 控制器的設計

由此可得等效控制函數為

5自由度主動磁懸浮軸承系統是一個非最小相位系統，在能量有限制的條件下，可以加入一個負的調幅值來縮短系統的調節時間，即采用切換函數us，其作用是克服系統模型不確定性以及外界擾動的影響。定義

式中：bi為B21的列向量；Ks為開關增益常數；ε為飽和函數的限幅值。此處采用飽和函數而非符號函數，可以有效地減少抖振［12］。

綜上，系統控制框圖如圖2所示。

圖2 系統控制框圖Fig.2 System control block diagram

3 仿真研究

利用MATLAB／Simulink對研究的控制方法進行仿真驗證。仿真中，5自由度主動磁懸浮軸承系統的參數設置為：m＝2.756 kg，lsa＝lsb＝0.147m，la＝lb＝0.121 m，Kix＝Kiy＝106.42 N／A，Kiz＝208.38 N／A，Kxx＝ Kyy＝492 860 N／m，Kzz＝690 340 N／m，J＝0.022 96 kg·m2，Jz＝2.069×10-4kg·m2。

滑模變結構控制器的參數設置為：S1＝300I5×5，S2＝2I5×5，KI＝0.3I5×5，Kσ＝10；因此α1＝300I5×5，α2＝05×5；飽和函數的限幅值 ε＝0.000 1；給定輸入 rd＝［0 0 0 0 0］T；轉子的初始位置為x0＝［3 2-2-3 1］T×10-4。

等效控制模型和切換控制模型分別如圖3、圖4所示。仿真結果如圖5所示，未實現解耦傳感器位置導致的耦合時徑向4自由度的仿真結果如圖6所示，常規PID控制方法的仿真結果如圖7所示。

圖3 等效控制仿真圖Fig.3 Equivalent control simulation model

圖4 切換控制仿真圖Fig.4 Switching control simulation model

圖5 采用積分滑模變結構控制時轉子位移Fig.5 Rotor displacements in ISMC

圖5 、圖7中5條曲線分別代表轉子在5個自由度上的位移位置，圖6中的4條曲線分別代表轉子徑向4個自由度的位移，零位置代表轉子穩定的懸浮狀態。對比圖6、圖7可以看出，采用未對傳感器位置耦合進行解耦的積分滑模變控制可以減小系統的靜態誤差，但2種控制方法下系統達到穩態所用的時間基本相同；對比圖5、圖6可以看出，對傳感器位置導致的耦合進行解耦后，系統達到穩態所用的時間更短、響應更迅速；對比圖5、圖7可以看出，與PID控制相比，基于傳感器位置解耦的多輸入多輸出積分滑模變結構控制在5自由度磁懸浮軸承的控制上，靜態誤差小，魯棒性更好，響應時間短，無振蕩現象。

圖7 采用PID控制時轉子位移Fig.7 Rotor displacements in PID control

4 結束語

針對5自由度主動磁懸浮軸承系統傳感器安裝位置導致的耦合，設計了多輸入多輸出積分滑模變結構控制器，利用MATLAB／Simulink進行了PID控制、未對徑向傳感器位置耦合進行解耦的滑模變結構控制和對傳感器位置進行解耦的滑模變結構控制的仿真和對比研究，結果表明，設計的5自由度主動磁懸浮軸承的多輸入多輸出積分滑模變結構控制器動態性能優越，具有良好的魯棒性、抗擾動能力和響應速度。