淺析向量的數量積的運算律

周湘怡 湖南省長沙縣實驗中學

淺析向量的數量積的運算律

周湘怡 湖南省長沙縣實驗中學

近幾年來，向量的數量積的問題在高考小題中出現的頻率較高，甚至于出現在解答題中，而且常考常新，同時它又是考綱“C”級要求內容，我們應予以足夠的重視。以下，本人淺析向量的數量積的運算律以及應用。

平面向量 數量積 分配律 交換律 數乘向量的結合律

1 平面向量數量積定義

第一，已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數量|a||b|cosθ叫a與b的數量積(或內積），記作a b，即有a．b=|a||b|cosθ。

（0≤θ≤π），并規定0與任何向量的數量積為0。

注意：

（1）a b表示數量而不表示向量，符號由 決定；

（2）符號“”在數量積運算中既不能省略也不能用“X”代替；

（3）在運用數量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：

第二，向量的數量積的幾何意義：數量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos 的乘積。

2 平面向量數量積的運算律

3 平面向量數量積運算律的應用

3.1 求解最值問題

如圖1，在直角三角形ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問PQ與BC的夾角θ取何值時，BP CQ的值最大？并求出這個最大值。

故當cosθ=1，即θ=0(PQ與BC方向相同)時，BP CQ的值最大，其最大值為0．

3.2 求解探索性問題

已知點A(1，2)和B(4，-1)，問能否在y軸上找到一點C，使∠ABC=90°若不能，請說明理由；若能，求出C點坐標。

解：假設存在點C(0，y)使∠ACB=90°，則AC⊥BC

因為AC=(-1，y-2)，BC=(-4，y+1)，AC BC=0，

所以4+(y-2)(y+1)=0，所以y2-y+2=0

而在方程y2-y+2=0中，Δ＜0，所以方程無實數解，故

不存在滿足條件的點C。

4 結語

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。向量是一種運算工具，平面向量的數量積及其性質是平面向量的重點內容，在平面向量中占重要的地位，利用平面向量的數量積及其性質可以處理向量的許多問題。

[1]張曉華，平面向量數量積的應用.[J].山西師范大學學報(自然科學版)，2011，（07）

[2]李良逢，求平面向量的數量積的幾種基本方法.[J].才智，2013(08)