高中數學中余弦定理的解析

肖茜文 湖南省長沙市南雅中學

高中數學中余弦定理的解析

肖茜文 湖南省長沙市南雅中學

余弦定理和正弦定理在運用的過程中，通常是和三角函數聯系在一起，通過余弦和正弦的定義以及使用特點，求出關于三角形邊角以及面積的函數關系式。本文主要對余弦定理的特點進行了分析，并通過相關例題的解答，加深學生對余弦定理的理解，以此使高中學生全面掌握余弦定理相關知識點的目的。

數學 余弦定理 運用

余弦定理主要是對三角形當中三條邊的長度與一個邊角的余弦值的關系進行分析的一種數學思維和解題方法。運用余弦定理就可以求出關于已知三角形的兩邊和夾角求出第三條邊，或者是已知三個邊求出夾角的大小的問題。余弦定理的公式為：cosA=（b2+c2-a2）/2bc。其中，cosA=鄰邊比斜邊。

1 余弦定理的證明過程

在對余弦定理進行證明的過程中，一般會用到兩種證明方法，第一種是平面向量證明法，第二就是平面幾何證明法。

1.1 平面向量證明法

根據平行四邊形的證明方法可以得出：兩個鄰邊之間的對角線可以代表兩個鄰邊的大小，所以，a+b=c，從而就 可 以 得 出 c*c=(a+b)*(a+b)，c2=a*a+2a*b+b*b， 所 以c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)。

又因為cos(π-θ)=-Cosθ，所以c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，拆開再化簡得：c2=a2+b2-2*a*b*CosC，即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b。根據這個證明過程，還可以得出三角形另外兩邊的關系式。

圖1

1.2 平面幾何證明法

假設一個任意的三角形ΔABC，做出AD⊥BC，∠A的對邊為a，∠B的對邊為b，∠C的對邊為c，那么就可以得出：BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c，根據勾股定理可得：AC2=AD2+DC2；b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2。

2 余弦定理的作用分析

根據余弦的定理，可以得出以下的結論，一是根據三角形的三條邊長，可求出三個內角；根據三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊；根據三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。

判定定理一(兩根判別法)：若m(c1，c2)為c的兩值為正根的個數，c1為c的表達式中根號前取加號的值，c2為c的表達式中根號前取；減號的值如果m(c1，c2)=2，則有兩解；如果m(c1，c2)=1，則有一解；如果m(c1，c2)=0，則有零解(即無解)。需要注意的是，如果c1等于c2且c1或c2大于0。

判定定理二(角邊判別法)：當a＞bsinA時，當b＞a且cosA＞0(即A為銳角)時，則有兩解；當b＞a且cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)；當b=a且cosA＞0(即A為銳角)時，則有一解當b=a且cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)；當b＜a時，則有一解。當a=bsinA時，當cosA＞0(即A為銳角)時，則有一解；當cosA＜=0(即A為直角或鈍角)時，則有零解(即無解)。當a＜bsinA時，則有零解(即無解)

例如：（1）已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內角。

可以設三角形的三邊為a，b，c且a：b：c=5：4：3．由三角形中大邊對大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理cosA=0，所以∠A=90°

以上的小例子簡單說明了余弦定理的作用。

3 余弦定理的例題解析

例題：三角形ABC中，∠A=60°，b+c=4，則邊a的取值范圍？

在三角形ABC中，A=60，b+c=4（b，c都大于0）根據余弦定理：a*a=b*b+c*c-2b*c*cos60=（b+c）*（b+c）-3b*c，就是a*a=16-3b*c，因為b+c=4大于等于2根號（b*c）

則b*c小于等于4，a*a=16-3bc＞=16-3*4=4，又a＜b+c=4，所以a*a是屬于[4，16），所以a是[2，4）。

學生要想學好余弦定理以及相關的知識，需要對相關的知識點進行全面的掌握，同時在通過大量習題的聯系，熟悉題目的規律，提高解題的思路和技巧，在養成良好的學習習慣的同時，在最大的程度上提高數學成績。

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